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Gegeben sei die Funktion mit

auf

1. Zeige mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass auf genau einen Fixpunkt besitzt.

2. Schätze für den Startwert den a priori-Fehler im n-ten Iterationsschritt ab. Wie viele Iterationsschritte benötigt man (höchstens), um eine Genauigkeit von zu garantieren? Verwende

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

Existenz des Fixpunktes:

Haben wir hier einen Banachraum?

ist ein Banachraum

Ist das Intervall abgeschlossen?

ist ein abgeschlossenes Intervall

Selbstabbildung:

Nutze die Dreiecksungleichung:

Setze den größten Wert des Intervalls ein:

Somit gilt: für , ist also eine Selbstabbildung.

Kontraktivität:

Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es also genau einen Fixpunkt in

Fehler im i-ten Iterationsschritt:

Verwende die a-priori-Fehlerabschätzungsformel:

Für den Startwert ist so dass:

Verwende :

Diese Ungleichung ist für erfüllt, so dass für sicher gilt:

Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es also genau einen Fixpunkt in

Für gilt: