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Gegeben sei die Abbildung mit

1. Zeige, dass die Abbildung in genau einen Fixpunkt besitzt.

2. Wie viele Schritte sind nötig, um bis auf einen Fehler zu garantieren? Wähle als Startvektor

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Existenz des Fixpunktes:

Prüfe die Voraussetungen für den Banachschen Fixpunktsatz:

Haben wir hier einen Banachraum?

ist ein Banachraum

Ist das Intervall abgeschlossen?

ist abgeschlossen

Selbstabbildung:

Ist monoton?

ist als Funktion von monoton wachsend.

Schätze auf dem Intervall ab:

Schätze auf dem Intervall ab:

Kontraktivität:

Schätze ab:

Gilt nach Mittelwertsatz.

Somit konvergiert die Folge mit gegen den eindeutigen Fixpunkt

Bestimmung der Schrittzahl:

Setze in den Term ein:

Somit reicht  also aus, um den vorgegebenen Fehler zu unterschreiten.

Somit konvergiert die Folge mit gegen den eindeutigen Fixpunkt

Mit ist bis auf einen Fehler genau bestimmt.