Max Academy

Gegeben sei die Funktion mit:

1. Untersuche die Stetigkeit im Punkt .
2. Existieren die partiellen Ableitungen in ?
3. Ist im Punkt total differenzierbar?

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

1. Untersuche die Stetigkeit von im Punkt . Dazu sei

Benutze Polarkoordinaten:

Wegen kannst du im Nenner aus den Betragsstrichen ziehen und ausklammern:

Da Zähler und Nenner positiv sind, kannst Du die äußeren Betragsstriche weglassen:

Wegen der Beziehung gilt:

Bestimme den Grenzwert

ist also im Nullpunkt stetig.

2. Untersuchen die Existenz der partiellen Ableitungen:

(a) Die partielle Ableitung nach :

Wir untersuchen die Existenz von

Nach der Regel von l'Hospital ergibt sich für die beiden Brüche und den Grenzwert:

Dieser Grenzwert existiert nicht. Somit ist nicht partiell differenzierbar, existiert also nicht.

(b) Die partielle Ableitung nach

Untersuchen die Existenz von

Somit existiert also die partielle Ableitung nach im Nullpunkt:

3. Totale Differenzierbarkeit:

ist total differenzierbar, wenn alle partiellen Ableitungen existieren und stetig sind.

ist nicht total differenzierbar in weil nicht existiert.

1. ist im Nullpunkt stetig

2. existiert nicht, existiert
3. ist nicht total differenzierbar in (0,0)