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Bestimme eine LR-Zerlegung der Matrix und löse anschließend das lineare Gleichungssystem mit mit Hilfe der Zerlegung. Gib zusätzlich noch die Determinante der Matrix an.

 

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

Zerlegung der Matrix:

Zeilenstufenform mit "überschriebenen" Einträgen berechnen:

Achtung: Vertauschung merken!

Achtung: Vertauschung merken!

Schreibe die ermittelte und Matrix auf:

Lösen des Gleichungssystems:

Achtung: Da wir zweimal Zeilen getauscht haben gilt . Du musst für jeden Tausch die Matrix mit einer Matrix von links multiplizieren. stellt dabei die Vertauschung von Zeile 1 und 2 dar und steht für die Vertauschung von Zeile 2 und 4. Selbiges gilt für den Vektor . Mit gilt dann und daraus folgt bzw. .

Kurz: Vertausche die Zeilen 1 und 2 und anschließend die Zeile 2 und 4 in der Matrix und im Vektor :

Löse durch Vorwärtseinsetzen, um zu erhalten:

Löse durch Rückwärtseinsetzen, um zu erhalten:

Determinante bestimmen:

Die Determinante entspricht dem dem Produkt der Diagonaleinträge von , allerdings kommt pro Zeilenvertauschung eine hinzu.

Die Lösung des Gleichungssystems ergibt:

Für die Determinante gilt: