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Bestimme nach der Methode von Lagrange alle Stellen, an denen mögliche Extrema von unter der Nebenbedingung: vorliegen. Weise die Existenz von Maximum und Minimum nach:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Prüfe Existenz von Extrempunkten:

Benutze den Satz von Weierstraß. Prüfe dafür die Menge auf Kompaktheit:

Abgeschlossenheit:

Aus der Bedingung folgt, dass abgeschlossen ist. Es handelt sich um eine gedrehte Ellipse.

Beschränktheit:

Überprüfe welche Bereiche für und erlaubt sind:

Betrachte die beiden Summanden einzelnd:

Die Menge ist insgesamt beschränkt und abgehschlossen und somit kompakt.

Da stetig auf ist, folgt nach Weierstraß die Existenz von Max./Min. für auf .

Überprüfe die Existenz von Ausnahmepunkten:

Das könnten Sattelpunkte sein. Prüfe also ob es Lösungen gibt für die Gleichung

Die einzige Lösung wäre:

Gehört dieser Punkt zur Menge ? Setze ein in :

was ein Widerspruch ist. Somit gehört der Punkt nicht zu und es gibt keine Ausnahmen.

Verfahren von Lagrange:

Stelle die Hilfsfunktion auf:

Bestimme die Extremstellen von . Löse dazu das Gleichungssystem

Fall 1:

Daraus ergibt sich:

Somit gibt es für diesen Fall 4 Kandidaten:

mit

mit

Fall

Diest steht im Widerspruch zu .

Bestimme die Art der Extremstellen-Kandidaten:

Wir wählen hier den einfachen Weg und setzen die Punkte einfach ein in die Funktion:

für Kandidaten

ergibt sich ein Minimum

für Kandidaten

ergibt sich ein Maximum

An den beiden Punkten besitzt ein Minimum.

An den beiden Punkten  besitzt ein Maximum.