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Ermittle die Extrema der Funktion

 

nach der Methode von Lagrange unter den Nebenbedingungen:

Weise zunächst die Existenz der Extrema nach.

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Definiere die Menge .

Existenz der Extrema:

Zeige für den Satz von Weierstraß, dass kompakt ist:

Es handelt sich bei um diejenigen Punkte der Ebene mit , die auf der Zylinderfläche liegen.

ist also kompakt

Da stetig ist, existieren nach Weierstraß Maximum und Minimum von auf .

Überprüfe die Existenz von Ausnahmepunkten:

Der Fall widerspricht .

Also sind grad und grad linear unabhängig, es gibt also keine Ausnahmepunkte.

Verfahren von Lagrange:

Hier hast du zwei Nebenbedingungen. Stelle also die Lagrange-Funktion auf und löse das Gleichungssystem aus :

Fall 1:

Es ergibt sich direkt: . Daraus folgt für

Damit ergeben sich als Kandidaten für Extremstellen:

Fall 2:

Damit ergeben sich als weitere Kandidaten für Extremstellen:

Bestimme die Art der Extremstellen:

Einsetzen der vier Kandidaten in liefert:

ü

ü

Für es liegt also kein Maximum vor.

An den Stellen liegt für ein Minimum vor.

An der Stelle liegt für ein lokales Maximum vor