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Es sei

und

  1. Begründe: Zu jedem gibt es eine Umgebung in der sich als Graph einer Funktion darstellen lässt.
  2. Berechne deren Gradienten
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1. Für welche Werte von und ist nach auflösbar:

Überprüfe für welche Werte gilt:

Für liegen also keine Punkte in und somit gilt für alle Mit dem Satz über implizite Funktionen folgt also, dass es zu jedem eine Umgebung gibt, in der sich als Graph einer Funktion darstellen lässt.

Berechne den Gradienten (die Ableitungen):