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Beweise die Konvergenz der Iteration

und gebe eine obere Schranke für die Anzahl der für eine Genauigkeit von benötigten Iterationen an.

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Prüfe die folgenden Voraussetzungen für den Banachschen Fixpunktsatz:

Selbstabbildung einer abgeschlossenen Menge:

Kontraktion:

(i) Selbstabbildung:


wähle

Überprüfe Monotonie:

monoton fallend auf und

(ii) Kontraktion:

Mit dem Mittelwertsatz folgt:

Wähle die Kontante als das Maximum der Ableitung mit :

Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es also genau einen Fixpunkt und die Iterationen konvergieren somit.

Iterationen für die Genauigkeit von

Verwende die a-priori-Fehlerabschätzungsformel:

Es werden also maximal 13 Schritte benötigt.

Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es also genau einen Fixpunkt und nach 13 Iterationen wird eine Genauigkeit von erreicht.