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Zeige mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf, dass das Anfangswertproblem

genau eine Lösung auf dem Intervall besitzt.

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Bestimme die Lipschitz-Konstante und somit Lipschitz-Stetigkeit bezüglich der Variablen  :

Sei   mit geeignetem   und

Dann ist stetig und es gilt für die Lipschitz-Konstante:

Somit ist Lipschitz-stetig bzgl. mit der Lipschitz-Konstanten

Nach dem Satz von Picard-Lindelöf (lokale Version) existiert somit eine eindeutige Lösung des AWP auf einem Intervall mit Hierbei ist :

Wähle nun und so dass Also z.B. und (dann ist ).

Bestimmung der Lösung mittels Separation der Variablen:

Einsetzen des Anfangswertes :

Durch Einsetzen des Anfangswertes erhält man

Somit ist die eindeutige Lösung des AWP gegeben durch:

Nach dem Satz von Picard-Lindelöf (lokale Version) existiert mit der Lipschitz-Konstanten eine eindeutige Lösung des AWP auf einem Intervall .

Die Lösung des AWP lautet: