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Gegeben ist ein im Ursprung der -Ebene stehender Zylinder , mit dem Radius und der Höhe .

  1. Beschreibe den Zylindermantel von durch Wahl geeigneter Koordinaten.
  2. Berechne den Fluss, der aufgrund des Vektorfeldes , von innen nach außen durch die Mantelfläche entsteht.

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

1. Zylindermantel:

Definiere eine Abbildung zur Beschreibung der Mantelfäche des Zylinders und schreibe mit ihrer Hilfe auf:

DIe Zylinderkoordinaten bieten sich an, mit: 

und somit gilt für die Mantelfläche des Zylinders:


2. Fluss von v durch die Mantelfäche M:

Der Fluss des Vektorfelds durch die Mantelfläche von von innen nach außen entspricht dem vektorielle Flächenintegral von über wobei dabei nach außen zeigen müssen:

Hier wurde angenommen, dass nach außen zeigt. Ob diese Annahme stimmt wird im nächsten Schritt überprüft.

Berechne , , und prüfe anschließend die Orientierung:

Hier kannst du feststellen, dass nach außen zeigt. Sollte dies mal nicht der Fall sein, so müsstest du nun wählen, um die Orientierung umzudrehen.

Nun kannst du alles in das zu lösende Integral einsetzen und ausrechnen: