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Gegeben ist das Vektorfeld und der Abschnitt eines Paraboloids.

 

Berechne den Fluss des Vektorfeldes durch den Rand des Paraboloidstücks nach außen. Nutze dabei:

  1. eine direkte Berechnung
  2. den Satz von Gauß
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Schritt der Lösung anzuzeigen.

1. der direkte Weg

Überlege durch welche Flächen das Paraboloidstück begrenzt wird und finde jeweils eine passende Parametrisierung:

Das Paraboloidstück wird nach oben durch die Kappe des Paraboloids und nach unten durch die Kreisscheibe begrenzt:

Eine Parametrisierung von ist:

Eine Parametrisierung von ist:

mit

Berechne zunächst :

Auf gilt für :

Berechne , und

Bilde

Jetzt kannst du final berechnen. Nutze Polarkoordinaten:

Berechne analog:

Auf gilt:

und somit folgt für :

Füge die Teilergebnisse zusammen:

2. Satz von Gauß

Berechne :

Nutze den Satz von Gauß, um dein Zielintegral aufzustellen und löse es anschließend:

Wegen der Rotationssymmetrie von P bieten sich Zylinderkoordinaten an:

mit und

Nutze: