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Gegeben ist ein Vektorfeld mit und eine Fläche .

  1. Berechne das Integral
  2. Bestätigen dein Ergebnis aus 1. mit Hilfe des Satzes von Stokes.
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Schritt der Lösung anzuzeigen.

Es kann helfen zunächst  eine Skizze anzufertigen:

Viertelkreis mit Koordinatensystem im Ursprung

1. Integral:

Parametrisiere die Fläche und formuliere Einschränkungen für die einzelnen Parameter:

Nutze Kugelkoordinaten mit .

Aus den Bedingungen in folgen für die Parameter:

Daraus folgt weiter:

Berechne die Rotation von :

Berechne :

Hier zeigt der Normalenvektor nach außen.

Berechne nun das Integral :

2. Bestätigen mit Stokes

Parametrisiere die Kurve (bzw. den Rand) :

Da der Normalenvektor von nach außen zeigt, solltest du den Rand im Urzeigersinn parametrisieren. Dabei müssen 2 Kurven unterschieden werden, die Kurve in der -Ebene und die Kurve in der -Ebene. Bilde außerdem die Ableitungen der Kurven.

Kurve in der -Ebene:

Kueve in der -Ebene:

Berechne nun das Integral :

Sowohl bei 1. als auch 2. erhält man als Ergebnis