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Gegeben sei das folgende Differentialgleichungssystem: mit:

Bestimme die Lösungsgesamtheit (Fundamentalsystem) des DGL-Systems.

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Schritt der Lösung anzuzeigen.

Bestimme die Eigenwerte der Matrix:

Aus diesem Ausdruck können die Eigenwerte direkt abgelesen werden:

Bestimme zu jedem Eigenwert den Eigenvektor

Löse das System:

Daraus ergibt sich für den Lösungsvektor:

Setze  z. B.  

mit dem Eigenvektor:

Für Eigenwert gilt:

Zum Eigenwert (komplex konjugiert), ergibt sich der Eigenvektor (komplex konjugiert)

Alternativ kann auch gelöst werden. Allerdings liefert der komplex konjugierte Vektor hier keine neue Information und ist eigentlich überflüssig.

Daraus ergibt sich das Fundamentalsystem (System aus linear unabhängigen Vektoren):

Merke: Realteil und Imaginärteil eines komplexen Fundamentalsystemvektors sind linear unabhängige, reelle Lösungsvektoren des DGL-Systems. Damit kann ein reelles Fundamentalsystem angegeben werden. Der zweite Vektor (komplex konjugiert) liefert dann keine neuen Informationen mehr.

Damit ergibt sich ein reelles Fundamentalsystem mit: