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Löse das folgende Anfangswertproblem für :

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Es handelt sich um eine DGL vom Riccati-Typ:

sind dabei stetig.

Hier sind:

Bestimme eine spezielle Lösung:

Setze den Ansatz und in die DGL ein:

Rechne die einzelnen Terme aus und mache einen Koeffizientenvergleich:

\alpha is only supported in math mode\begin{align*} x^{4}\text { Terme (1) : }\ \ 0  &=  \alpha^{2}-4 \alpha+4=(\alpha-2)^{2} \\ &\Leftrightarrow  \alpha=2 \\ x^{3}\text { Terme (2) : }\ \ 0&=2 \alpha \beta-4 \beta \\ &\text{ mit \alpha=2 automatisch erfüllt} \\ x^{2}\text { Terme (3) : } 2 \alpha&=-4 \gamma-\alpha+\beta^{2}+2 \alpha \gamma+6 \\ x^{1}\text { Terme (4) : }\ \ \beta  &=-\beta+2 \beta \gamma \\ &\Leftrightarrow  2 \beta(1-\gamma)=0 \\ x^{0}\text { Terme (5) : }\ \ 0 &=\quad \gamma^{2}-\gamma=\gamma(\gamma-1) \quad \\ &\Leftrightarrow \quad \gamma=0 \\ &\stackrel{(4)}{\Rightarrow} \quad \beta=0 \end{align*}

mit den Werten aus ist auch erfüllt.

Der Fall liefert und erfüllt die Gleichungen und

Bestimme die Lösungsgesamtheit mit dem Lösungsansatz für Riccati-DGLs:

Substitutiere:

Benutze eine der oben errechneten speziellen Lösungen: z.B.

Dies ist eine lineare DGL:

Löse diese lineare DGL mittels Seperation:

Alternativ geht auch mittels Lösungsformel:

Mit dem Anfangswert ergibt sich:

Die positive Lösung widerspricht dem Anfangswert. Somit ergibt sich als Lösung: