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Nutze den Satz von Stokes zum lösen des Oberflächenintegrals:  mit und dem nach oben geöffneten Paraboloid

 

ä

 

Hinweis: Der Normalenvektor sei nach außen gerichtet.

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Schreibe das Integral mit dem Satz von Stokes um:

Die Idee hinter der Verwendung des Satzes ist die folgende. Es gibt oft den Fall, dass ein Oberflächenintegral berechnet werden muss. Da die Berechnung eines solchen Integrals aber meist alles andere als trivial ist, nutzt man den Satz von Stokes und umgeht damit die komplizierte Rechnung. Statt des Oberflächenintegrals muss anschließend lediglich ein leichter zu lösendes Kurvenintegral berechnet werden.

Zur Berechnung müsst du dir jetzt Gedanken über die Orientierung und den Tangengtenvektor machen:

Die in der Aufgabenstellung gegebene Fläche gehört zu einem nach oben geöffneten Paraboloiden, der durch die Höhe 2 beschränkt ist. Dabei bildet die Außenhaut.

 

Die Umlaufrichtung könntest du nun wie folgt finden. Stell dir vor du seiest der Normalvektor (Kopf Richung Pfeil und Füsse auf dem Teilkreis). Nun musst du in Pfeilrichtung gehen, damit die äußere Fläche links von dir liegt.

Nach oben geöffneter Paraboloid, welcher durch die Höhe z begrenzt ist

Schaut man sich nun also den Rand an, so geht es um einen Kreis mit dem Radius , also . Bestimme eine Parametrisierung für disesen Kreis:

Es bieten sich Polarkoordinaten an:

 

mit

Nun kannst ud das Integaral bestimmen. Achte allerdings darauf, das du wegen der Umlaufrichtung von bis integrieren musst:

Nutze außerdem und