Max Academy

Vollständige Induktion

Mithilfe des Prinzips der vollständigen Induktion, lassen sich viele Aussagen über natürliche Zahlen beweisen. Häufig kommt sie zum Einsatz, wenn ein direkter Beweis der Aussage nur schwer (oder gar nicht) durchführbar ist.

Summen

6 Aufgaben
Viele Summen können durch explizite Formeln ersetzt bzw. ausgerechnet werden. Mittels vollständiger Induktion nachzuweisen, dass eine solche Formel immer Gültigkeit hat ist Kern dieses Themas.
Aufgabe 1

Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle gilt:

Aufgabe 2

Beweise per vollständiger Induktion:

Für alle gilt:

Aufgabe 3

Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle gilt:

Aufgabe 4

Beweise per vollständiger Induktion:

Für alle gilt:

Aufgabe 5

Beweise per vollständiger Induktion:

Für alle gilt:

Aufgabe 6

Beweise per vollständiger Induktion:

Für alle gilt:

Ungleichungen

10 Aufgaben
Hier werden verschiedene Aussagen über Ungleichungen untersucht und bewiesen. Das Abschätzen von Ausdrücken spielt bei der Beweisführung eine wichtige Rolle.
Aufgabe 1

Beweise per vollständiger Induktion, für welche gilt:

Aufgabe 2

Beweise per vollständiger Induktion, für welche gilt:

Aufgabe 3

Beweise per vollständiger Induktion, für welche gilt:

Aufgabe 4

Zeige mittels vollständiger Induktion, für welche gilt:

Aufgabe 5

Zeige mittels vollständiger Induktion, für welche gilt:

Aufgabe 6

Zeige mittels vollständiger Induktion, für welche gilt:

Aufgabe 7

Zeige mittels vollständiger Induktion, für welche gilt:

Aufgabe 8

Beweise per vollständiger Induktion, für welche gilt:

Aufgabe 9

Beweise per vollständiger Induktion, für welche mit gilt:

Aufgabe 10

Beweise per vollständiger Induktion, für welche mit gilt:

Teilbarkeit

6 Aufgaben
Hier lernst du nachzuweisen, ob ein gegebener Ausdruck immer durch eine bestimmte Zahl teilbar ist.
Aufgabe 1

Beweise per vollständiger Induktion für alle gilt:

ist durch 5 teilbar.

Aufgabe 2

Beweise per vollständiger Induktion, für welche die folgende Aussage gilt:

ist durch teilbar.

Aufgabe 3

Beweise per vollständiger Induktion für alle :

ist durch teilbar

Aufgabe 4

Beweise per vollständiger Induktion für alle gilt:

ist immer durch 6 teilbar

Aufgabe 5

Beweise per vollständiger Induktion für alle 𝟘:

ist durch teilbar.

Aufgabe 6

Beweise per vollständiger Induktion für alle :

ist durch teilbar.

Ableitungen

6 Aufgaben
Die Ableitungen mancher Funktionen weisen ein klares Schema auf und können durch eine entsprechende Formel berechnet werden. Die Richtigkeit solcher Formeln beweisen zu können spielt zum Beispiel beim Finden von Taylorreihen eine Rolle.
Aufgabe 1

Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle gilt:

 

Die -te Ableitung von

 

ist gegeben durch:

Aufgabe 2

Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle gilt:

 

Die n-te Ableitung von

 

ist gegeben durch:

Aufgabe 3

Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle gilt:

 

Die -te Ableitung von

 

ist gegeben durch:

Aufgabe 4

Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle gilt:

 

Die n-te Ableitung von

 

ist gegeben durch:

Aufgabe 5

Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle gilt:

 

Die n-te Ableitung von

 

ist gegeben durch:

Aufgabe 6

Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle gilt:

 

Die n-te Ableitung von

 

ist gegeben durch:

mit