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Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen setzen sich aus zwei Teilen (Realteil und Imaginärteil) zusammen und werden in einer "komplexen" Zahlenebene dargestellt. Mit ihrer Hilfe lassen sich Gleichungen lösen, die in nicht gelöst werden können. Z. B.: Anwendung finden die komplexen Zahlen in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften, wo sie das rechnen erheblich vereinfachen.

Grundrechenarten

10 Aufgaben
In diesem Kapitel lernst du die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen. Darüber hinaus werden komplexen Zahlen in Realteil und Imaginärteil getrennt und grafisch dargestellt.
Aufgabe 1

Berechne den Realteil und Imaginärteil zu der gegebenen komplexen Zahl:

Aufgabe 2

Bestimme Real- und Imaginärteil von:

Aufgabe 3

Bestimme Real- und Imaginärteil von:

Aufgabe 4

Bestimme Real- und Imaginärteil von:

Aufgabe 5

Bestimme Real- und Imaginärteil von:

Aufgabe 6

Berechne den Realteil und Imaginärteil zu der gegebenen komplexen Zahl:

Aufgabe 7

Berechne den Realteil und Imaginärteil von:

Aufgabe 8

Vereinfache und zeichne die komplexe Zahl:

-

Lies anschließend den Realteil , Imaginärteil , Betrag und das Argument ab.

Aufgabe 9

Vereinfache und zeichne die komplexe Zahl:

-

Lies anschließend den Realteil , Imaginärteil , Betrag und das Argument ab.

Aufgabe 10

Berechne den Realteil und Imaginärteil von:

Kartesische- und Polarkoordinaten (Euler)

8 Aufgaben
Die Polardarstellung definiert eine komplexe Zahl über einen Betrag und Winkel. In vielen Situationen ist es hilfreich, eine komplexe Zahl in ihre Polardarstellung zu bringen, um z. B. einfacher Potenzen zu berechnen.
Aufgabe 1

Überführe die gegebene komplexe Zahl in Polarkoordinaten:

Aufgabe 2

Überführe die gegebene komplexe Zahl in Polarkoordinaten:

Fertige zuerst eine Skizze an.

Aufgabe 3

Überführe die folgende komplexe Zahl aus den Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:

Aufgabe 4

Überführe die folgende komplexe Zahl aus den Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:

Aufgabe 5

Gib die folgende komplexe Zahl in der Polardarstellung an:

Aufgabe 6

Überführe die folgende komplexe Zahl aus den Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:

Aufgabe 7

Überführe die folgende komplexe Zahl aus den Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:

Aufgabe 8

Gib die folgende komplexe Zahl in der Polardarstellung an:

Potenzieren

6 Aufgaben
Aufgabe 1

Berechne mit:

Gib das Ergebnis in trigonometrischer und exponentieller Polarform an.

Aufgabe 2

Berechne mit:

Gib das Ergebnis in kartesischen Koordinaten an.

Aufgabe 3

Berechne die komplexe Zahl:

Aufgabe 4

Berechne mit:

Gib das Ergebnis in kartesischen Koordinaten an.

Aufgabe 5

Berechne mit:

Gib das Ergebnis in kartesischen Koordinaten an.

Aufgabe 6

Berechne den Real- und Imaginärteil von

Wurzelziehen (Formel von Moivre)

6 Aufgaben
Aufgabe 1

Berechne alle Lösungen von:

Gib die Lösungen in kartesischen Koordinaten an.

Aufgabe 2

Berechne alle Lösungen (in Polarfom) von:

Fertige außerdem eine Skizze der Lösungen an.

Aufgabe 3

Berechne alle Lösungen von:

Gib die Lösungen in kartesischer Form an.

Aufgabe 4

Bestimme alle komplexen Zahlen der Form , so dass:

öäö Lösen mit Formel von Moivre.

Aufgabe 5

Berechne alle Lösungen (in Polarform) von:

Fertige eine Skizze der Lösungen an.

Aufgabe 6

Berechne alle Lösungen von:

Gib die Lösungen in kartesischen Koordinaten an. (Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma)

Komplexe Gleichungen

6 Aufgaben
Komplexe Gleichungen sind Gleichungen mit einer komplexen Zahl als Variable und beinhalten die imaginäre Einheit als Faktor. Es ist für viele Anwendungen wichtig nicht nur reelle, sondern auch komplexe Gleichungen lösen zu können.
Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung:

Aufgabe 2

Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung:

Aufgabe 3

Welche komplexe Zahl erfüllt die Gleichung

Aufgabe 4

Bestimme alle Lösungen der Gleichung:

Nutze die Lösung für die Berechnung.

Aufgabe 5

Berechne für folgende Gleichung:

Forme anschließend dein Ergebnis in die exponentielle Polarform um.

Aufgabe 6

Bestimme alle Lösungen der Gleichung:

Gib die Lösungen in kartesischer Darstellung an.

Komplexe Menge

6 Aufgaben
Komplexe Mengen bestehen i. d. R. aus komplexen Ungleichungen und Bedingungen, welche sich auch grafischen interpretieren lassen. Zur Verdeutlichung hilft es die Bedingungen zu vereinfachen und auf bekannte geometrische Formen zurückzuführen.
Aufgabe 1

Es sei die Menge gegeben durch:

Bestimme alle Elemente der Menge und beschreibe Form und Lage in einer erklärenden Skizze.

Aufgabe 2

Es sei die Menge gegeb durch:

Bestimme alle Elemente der Menge und beschreibe Form und Lage in einer erklärenden Skizze.

Aufgabe 3

Skizziere die angegebene Teilmenge der komplexen Zahl:

Aufgabe 4

Es sei die Menge gegeb durch:

Bestimme alle Elemente der Menge und beschreibe Form und Lage in einer verdeutlichenden Skizze.

Aufgabe 5

Es sei die Menge gegeben durch:

Bestimme alle Elemente der Menge und beschreibe Form und Lage in einer verdeutlichenden Skizze.

Aufgabe 6

Es sei die Menge gegeben durch:

Bestimme alle Elemente der Menge und beschreibe Form und Lage in einer erklärenden Skizze.