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Anwendung wichtiger Sätze

Mathematische Sätze bilden die Grundlage für viele weitere Berechnungen und Beweise . Die Anwendung der wichtigsten Sätze lernst du hier.

Zwischenwertsatz

6 Aufgaben
Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion , die auf einem abgeschlossenen Intervall stetig ist, jeden Wert zwischen und annimmt. Dieser Satz kann dir z.B. helfen, die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen.
Aufgabe 1

Zeige, dass

 

genau eine Nullstelle in besitzt.

Aufgabe 2

Zeige, dass die Gleichung

eine Lösung im Intervall besitzt.

Aufgabe 3

Zeige mithilfe des Zwischenwertsatzes, dass die Funktion mit:

in **genau einen** Fixpunkt besitzt.

Aufgabe 4

Zeige, dass die Gleichung

eine Lösung im Intervall besitzt.

Aufgabe 5

Zeige, dass die Funktion

auf dem Intervall **genau einen** Fixpunkt hat.

Aufgabe 6

Gegeben sei die Funktion mit:

a) Zeige, dass im Punkt stetig ist.

b) Zeige, dass ein existiert mit

Satz von Weierstraß (Minimum, Maximum)

6 Aufgaben
Der Satz vom Minimum und Maximum stellt ein wichtiges Instrument zum Beweis der Existenz von Extremwerten dar. Du kannst mit ihm also Extremwerte Nachweisen ohne diese explizit zu berechnen.
Aufgabe 1

Es sei gegeben

Entscheide, ob die Funktion für den Definitionsbereich ein Minimum/Maximum annimmt.

Aufgabe 2

Gegeben sei die Funktion mit

Besitzt ein Maximum oder Minimum?

Aufgabe 3

Gegeben sei die Funktion mit

Besitzt die Funktion ein Minimum und ein Maximum auf dem Intervall

Aufgabe 4

Gegeben sei die Funktion mit

Besitzt die Funktion ein Minimum und ein Maximum auf dem Intervall

Aufgabe 5

Es sei gegeben

Entscheide, ob die Funktion in dem Definitionsbereich ein Minimum/Maximum annimmt.