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Definitionsbereich, Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Die Definitionsbereiche, die Stetigkeit und die Differenzierbarkeit von einer Funktion hängen eng zusammen. Dass eine Funktion an einer Stelle definiert ist, ist z.B. die Voraussetzung für Stetigkeit in dieser Stelle . Ebenso ist Stetigkeit in Voraussetzung für die Differenzierbarkeit in .

Definitionsbereich

5 Aufgaben
Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller Werte die in sie eingesetzt werden können und die Funktion einen endlichen Wert liefert.
Aufgabe 1

Wie ist der Definitionsbereich der Funktion:

Aufgabe 2

Wie ist der Definitionsbereich der Funktion:

Aufgabe 3

Differenziere die folgende Funktion und gebe die Definitionsbereiche von und an.

Aufgabe 4

Differenziere die folgende Funktion und gebe die Definitionsbereiche von und an.

Mit .

Aufgabe 5

Differenziere die folgende Funktion und gebe die Definitionsbereiche von und an.

Stetigkeitsbereich

7 Aufgaben
Die Stetigkeit einer Funktion ist Voraussetzung für die Anwendung vieler mathematischer Sätze. Eine Funktion ist überall dort stetig, wo sie "zusammenhängend" ist (keine Sprünge oder Lücken im Wertebereich).
Aufgabe 1

Untersuche die Funktion aut Stetigkeit:

üü

Aufgabe 2

Für welche ist die Funktion stetig:

Aufgabe 3

Überprüfe, ob folgende Funktion stetig ist mit Definitionsbereich :

üü

Aufgabe 4

Überprüfe, ob folgende Funktion stetig ist:

üüü

Aufgabe 5

Untersuche die folgende Funktion auf Stetigkeit:

üü

Aufgabe 6

Für welche Werte von ist die folgende Funktion stetig:

Aufgabe 7

Für welche ist die Funktion stetig:

üü

Differenzierbarkeit

3 Aufgaben
Die Differenzierbarkeit einer Funktion in allen Punkten ist die Voraussetzung für die Anwendung der allgemeinen Ableitungsregeln. Der Differenzierbarkeitsbereich einer Funktion besagt also in welchem Bereich eine Ableitungsfunktion existiert.
Aufgabe 1

Untersuche, ob an der Stelle differenzierbar ist mit :

üü

Aufgabe 2

Untersuche die Funktion auf Differenzierbarkeit:

üü

Aufgabe 3

Für welche Werte von ist die folgende Funktion differenzierbar:

üü

Definitions-, Stetigkeits-, Differenzierbarkeitsbereich

8 Aufgaben
Die drei Themen kommen oft zusammen vor und sollten in dieser Reihenfolge geprüft werden: Definitionsbereich, Stetigkeitsbereich und Differenzierbarkeitsbereich.
Aufgabe 1

Untersuche die folgende Funktion auf ihren Definitionsbereich Stetigkeitsbereich und Differenzierbarkteitsbereich

Aufgabe 2

Bestimme den Definitionsbereich den Stetigkeitsbereich und Differenzierbarkteitsbereich für die Funktion:

üü

Aufgabe 3

Bestimme den Definitionsbereich den Stetigkeitsbereich und Differenzierbarkteitsbereich für die Funktion:

üü

Aufgabe 4

Bestimme den Definitionsbereich den Stetigkeitsbereich und Differenzierbarkteitsbereich für die Funktion:

üü

Aufgabe 5

Untersuche die folgende Funktion auf ihren Definitionsbereich Stetigkeitsbereich und

Differenzierbarkteitsbereich :

Aufgabe 6

Untersuche die folgende Funktion auf ihren Definitionsbereich Stetigkeitsbereich und

Differenzierbarkteitsbereich :

Aufgabe 7

Untersuche die folgende Funktion auf ihren Definitionsbereich Stetigkeitsbereich und

Differenzierbarkteitsbereich .

für und

Aufgabe 8

Untersuche die folgende Funktion auf ihren Definitionsbereich Stetigkeitsbereich und

Differenzierbarkteitsbereich :

Stetige Ergänzbarkeit

5 Aufgaben
Manche Funktionen kommen von rechts und links einer unstetigen Stelle beliebig nah, aber sind in genau dieser Stelle nicht stetig. Dann kann per Definition genau dieser Funktionswert hinzugefügt werden und die Funktion wird dadurch stetig.
Aufgabe 1

Besitzt ergänzbare unstetige Stellen?

Aufgabe 2

Besitzt ergänzbare unstetige Stellen?

Aufgabe 3

Besitzt ergänzbare unstetige Stellen?

Aufgabe 4

Es sei:

Gibt es unstetige Stellen an denen sich stetig ergänzen lässt?

Aufgabe 5

Gegeben sei die Funktion mit:

1. Bestimme den Definitionsbereich den Stetigkeitsbereich und den Differenzierbarkeitsbereich der Funktion

2. Untersuche, ob an der Stelle stetig ergänzbar ist.

3. Falls in stetig ergänzbar ist: ist die stetig ergänzte Funktion in differenzierbar?