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Matrizenrechnung - Grundlagen

In diesem Kapitel werden grundlegende Begriffe zur Matrizenrechnung eingeführt und Grundrechentechniken vermittelt..

Addition und Multiplikation

9 Aufgaben
Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.
Aufgabe 1

Berechne mit:

Aufgabe 2

Berechne das folgende Produkt aus Matrizen:

Aufgabe 3

Berechne mit:

Aufgabe 4

Berechne und sofern sie jeweils existieren.

.

Aufgabe 5

Berechne und sofern sie jeweils existieren.

,

.

Aufgabe 6

Berechne mit:

Aufgabe 7

Berechne das Produkt mit:

Aufgabe 8

Berechne alle Produkte, die sich aus den folgenden Matrizen bilden lassen.

Aufgabe 9

Illustriere für

dass die binomischen Formeln für Matrizen im Allgemeinen nicht gelten und gib eine Begründung.

Transponieren

6 Aufgaben
Das Transponieren einer Matrix ist ein weiteres Grundwerkzeug zum Rechnen mit Matrizen. Viele Operationen kannst du mit der Bildung der transponierten Matrix vertauschen oder vereinfachen.
Aufgabe 1

Transponiere den folgenden Zeilenvektor (-Matrix)

Aufgabe 2

Transponiere die folgende -Matrix.

Aufgabe 3

Transponiere die folgende -Matrix.

Aufgabe 4

Berechne die transponierte der folgenden -Matrix.

Aufgabe 5

Berechne den Ausdruck mit möglichst wenig Rechenaufwand.

Hinweis: Nutze eine Rechenregel für transponierte Matrizen.

Aufgabe 6

Berechne den Ausdruck mit möglichst wenig Rechenaufwand.

Hinweis: Nutze eine Rechenregel für transponierte Matrizen.

Rang

8 Aufgaben
Den Rang einer Matrix berechnen zu können bietet die Grundlage für die Untersuchung der linearen Unabhängigkeit von Vektoren. Darüber hinaus können mit ihm Aussagen über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen getroffen werden.
Aufgabe 1

Bestimme den Rang der -Matrix:

Aufgabe 2

Bestimme den Rang der -Matrix:

Aufgabe 3

Bestimme den Rang der -Matrix:

Aufgabe 4

Bestimme den Rang der -Matrix:

Aufgabe 5

Bestimme den Rang der -Matrix:

Aufgabe 6

Bestimme den Rang der -Matrix in Abhängigkeit von :

Aufgabe 7

Bestimme den Rang der -Matrix:

Aufgabe 8

Bestimme den Rang der -Matrix in Abhängigkeit von :

 

Bild

5 Aufgaben
Die Menge an Lösungen die man erhält wenn man eine Matrix mit jedem beliebigen Vektor multipliziert, wird als Bild der Matrix bezeichnet. Somit ist das Bild mehr oder weniger die Wertemenge einer Matrix.
Aufgabe 1

Ermittel das Bild der folgenden Matrix:

Aufgabe 2

Ermittel das Bild der folgenden Matrix:

Gib außerdem den Rang der Matrix an.

Aufgabe 3

Ermittel das Bild der folgenden Matrix:

Gib außerdem den Rang der Matrix an.

Aufgabe 4

Ermittel das Bild der folgenden Matrix:

Gib außerdem den Rang der Matrix an.

Aufgabe 5

Ermittel das Bild der folgenden Matrix:

Kern und Defekt

6 Aufgaben
Der Kern einer Matrix ist die Menge aller Vektoren, welche bei einer Multiplikation mit ihr zu Null werden. Der Defekt gibt weiter an, aus wie vielen linear unabhängigen Vektoren dein Kern besteht.
Aufgabe 1

Berechne den Kern und Defekt der folgenden Matrix.

Aufgabe 2

Berechne den Kern und Defekt der folgenden Matrix.

Aufgabe 3

Berechne den Kern und Defekt der folgenden Matrix.

Aufgabe 4

Berechne den Kern und Defekt der folgenden Matrix.

Aufgabe 5

Berechne den Kern und Defekt der folgenden Matrix.

Aufgabe 6

Bestimme den Kern der folgenden Matrix in Abhängigkeit des Parameters :