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Skalarprodukte, Kreuzprodukt, Orthogonalität

Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren

5 Aufgaben
Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren.
Aufgabe 1

Die folgende Basis eines Unterraums des ist gegeben.

Verwende das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren, um eine Orthonormalbasis zu zu finden.

Aufgabe 2

Gegeben sei die folgende Basis  des

Benutze das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren, um eine Orthonormalbasis zu zu finden.

Aufgabe 3

Berechne mit dem Gram-Schmidt-Orthonormierungsverfahren eine Orthonormalbasis von mit

Aufgabe 4

Ermittel mit dem Gram-Schmidt-Orthonomierungsverfahren eine Orthonomalbasis zu dem Vektorraum, der durch die folgenden Vektoren aufgespannt wird:

Aufgabe 5

Bestimme eine Orthonormalbasis von bezüglich des Skalarproduktes .

Winkel, Länge, Fläche, Volumen von Vektoren

6 Aufgaben
Aufgabe 1

Bestimme den Winkel in Grad zwischen den beiden Vektoren

Aufgabe 2

Bestimme den Winkel in Grad zwischen den beiden Vektoren

Aufgabe 3

Berechne das Volumen, dass durch die 3 Vektoren , und aufgespannt wird.

Aufgabe 4

Berechne den Vektor . Bestimme anschließend seine Länge und interpretiere sie.

Aufgabe 5

Gegeben sind die drei Vektoren und und . Berechne:

  1. Den Winkel der von und eingeschlossen wird. (in Grad)
  2. Die von und aufgespannte Fläche.
  3. Das von aufgespannte Volumen.

Aufgabe 6

Es sind 3 vom Parameter abhängige Vektoren , und gegeben. Berechne:

  1. Das Volumen , welches durch die 3 Vektoren aufgespannt werden. 
  2. Für welchen Wert von der Winkel zwischen und genau beträgt.

Orthogonale Projektion

5 Aufgaben
Aufgabe 1

Bestimme die Orthogonale-Projektion von auf die Ebene

Aufgabe 2

Berechne die orthogonale Projektion von auf

Die Vektoren und der Menge bilden dabei eine Orthogonalbasis.

Aufgabe 3

Bestimme die Orthogonale-Projektion von auf die Ebene

Aufgabe 4

Bestimme die Orthogonale-Projektion von auf die Ebene

Aufgabe 5

Zeige, dass die Vektoren der Ebene eine Orthonormalbasis bilden und berechne anschließend die orthogonale Projektion von auf . 

Vektor aus Bedingungen ableiten

5 Aufgaben
Aufgabe 1

Gegeben ist der Vektor . Berechne alle Vektoren mit den folgenden Eigenschaften:

Aufgabe 2

Gegeben ist der Vektor . Berechne alle Vektoren , welche die folgenden Eigenschaften erfüllen:

  1. Die Länge ist

Aufgabe 3

Gegeben ist der Vektor . Berechne alle Vektoren , welche die folgenden Eigenschaften erfüllen:

Aufgabe 4

Finde alle Vektoren , welche die folgenden Eigenschaften erfüllen:

  1. Die Länge von entspricht
  2. Der Winkel zwischen und der -Achse beträgt
  3. Die Orthogonalprojektion von auf eine Gerade ist .
Aufgabe 5

Gegeben ist der Vektor . Berechne alle Vektoren , welche die folgenden Eigenschaften erfüllen: