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Funktionen (mehrdimensionale)

Implizite Funktionen

6 Aufgaben
Aufgabe 1

Die Funktion ist durch implizit gegeben.

Berechne .

Für welche -Werte existiert diese Ableitung und in welchen Punkten wird sie Null?

Aufgabe 2

Es sei die Funktion gegeben mit:

Überprüfe mit Hilfe des Satzes der impliziten Funktionen, ob in einer Umgebung von

auflösbar ist nach:

1.

2.

3.

Aufgabe 3

Die Funktion ist durch implizit gegeben.

Ist die implizite Funktion für alle Werte, welche die Gleichung erfüllen, nach auflösbar?

Berechne die ersten beiden Ableitungen und

Aufgabe 4

Die Funktion ist durch implizit gegeben.

Berechne die erste Ableitung .

Aufgabe 5

Begründe, dass sich in der Umgebung jedes als Graph einer Funktion darstellen lässt.

Berechne dort den Gradienten von .

Aufgabe 6

Es sei

und

  1. Begründe: Zu jedem gibt es eine Umgebung in der sich als Graph einer Funktion darstellen lässt.
  2. Berechne deren Gradienten

Banachscher Fixpunktsatz

5 Aufgaben
Aufgabe 1

Gegeben sei die Funktion mit

Zeige mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass genau einen Fixpunkt im Intervall besitzt.

Aufgabe 2

Gegeben sei die Funktion mit

auf

1. Zeige mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass auf genau einen Fixpunkt besitzt.

2. Schätze für den Startwert den a priori-Fehler im n-ten Iterationsschritt ab. Wie viele Iterationsschritte benötigt man (höchstens), um eine Genauigkeit von zu garantieren? Verwende

Aufgabe 3

Gegeben sei die Abbildung mit

1. Zeige, dass die Abbildung in genau einen Fixpunkt besitzt.

2. Wie viele Schritte sind nötig, um bis auf einen Fehler zu garantieren? Wähle als Startvektor

Aufgabe 4

a) Zeige mit Hilfe des Banach' schen Fixpunktsatzes, dass genau einen Fixpunkt auf besitzt.

b) Schätze den Fehler für a priori ab. Wie viele Iterationsschritte brauchen Sie, um eine Genauigkeit von zu erreichen?

Aufgabe 5

Beweise die Konvergenz der Iteration

und gebe eine obere Schranke für die Anzahl der für eine Genauigkeit von benötigten Iterationen an.

Satz über Umkehrabbildungen (lokal)

5 Aufgaben
Aufgabe 1

Untersuche, ob die Funktion

1. im Punkt

2. im Punkt

lokal umkehrbar ist.

Aufgabe 2

Benutze den Satz der inversen Funktionen, um deren Existenz für die Abbildung:

nachzuweisen. Gib die inverse Funktion explizit an.

Aufgabe 3

Gegeben sei die Funktion mit:

1. Berechne die Ableitung sowie

2. Bestimme die Menge aller Punkte, für die regulär ist, d.h. Gib ein maximales Rechteck an, so dass auf regulär ist und

3. Bestimme

4. Berechne in ohne explizit zu bestimmen.

Aufgabe 4

Berechnen für

 

die Ableitung und die Ableitung der Verknüpfung mit sich selbst jeweils an der Stelle sowie die Ableitung der Inversen an der Stelle

Aufgabe 5

Sei mit

Beweise

  1. Zu jedem in gibt es eine Umgebung von sodasss injektiv ist.
  2. selbst ist nicht injektiv.

Taylorpolynome (mehrdimensional)

7 Aufgaben
Aufgabe 1

Bestimme die Taylorpolynome erster und zweiter Ordnung bzgl. des Entwicklungspunktes für die Funktion  

mit

Aufgabe 2

Bestimme die Taylorpolynome nullter, erster und zweiter Ordnung bzgl. des Entwicklungspunktes für die Funktion  

mit

Aufgabe 3

Bestimme die Taylorpolynome erster und zweiter Ordnung bzgl. des Entwicklungspunktes für die Funktion  

mit

Aufgabe 4

Bestimme die Taylorpolynome erster und zweiter Ordnung bzgl. des Entwicklungspunktes für die Funktion  

mit

Aufgabe 5

Entwickle das Taylorpolynom 2. Ordnung der Funktion

im Punkt

Aufgabe 6

Bestimme das Taylorpolynom 2. Ordnung der Funktion

im Entwicklungspunkt .

Aufgabe 7

Bestimme das Taylorpolynom 3. Ordnung der Funktion

im Entwicklungspunkt