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Grundlagen

Stetigkeit (mehrdimensional)

8 Aufgaben
Aufgabe 1

Gegeben sei die Funktion mit:

Untersuche die Stetigkeit im Punkt .

Aufgabe 2

Untersuche die Stetigkeit der folgenden Funktion:

Aufgabe 3

Untersuche die Stetigkeit der folgenden Funktion:

Aufgabe 4

Untersuche die Stetigkeit der folgenden Funktion:

Aufgabe 5

Gegeben sei die Funktion mit:

Untersuche die Stetigkeit von

Aufgabe 6

Untersuche die Stetigkeit der Funktion im Nullpunkt

Aufgabe 7

Untersuche für die Funktion die Stetigkeit:

Aufgabe 8

Untersuche die Stetigkeit der folgenden Funktion:

Partielle Ableitungen (Gradient)

7 Aufgaben
Aufgabe 1

Bestimme den Gradienten der folgenden Funktion:

Aufgabe 2

Berechne für die Funktion:

die 2. partiellen Ableitungen von und den Gradienten.

Aufgabe 3

Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion:

Aufgabe 4

Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion:

Aufgabe 5

Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion:

Aufgabe 6

Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion:

Aufgabe 7

Bilde die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion:

Richtungsableitung

5 Aufgaben
Aufgabe 1

Ermittele die Richtungsableitung

im Punkt in Richtung

Aufgabe 2

Berechne für die Funktion:

die (normierte) Richtungsableitung in Richtung von .

Aufgabe 3

Berechne die (nicht normierte) Ableitung in Richtung der gegebenen Funktion in der Multiindex-Notation:

 

Werte die Richtungsableitung im Punkt aus.

Aufgabe 4

Berechne die (nicht normierte) Ableitung in Richtung der gegebenen Funktion:

 

Werte die Richtungsableitung im Punkt aus.

Aufgabe 5

Berechne die (nicht normierte) Ableitung in Richtung der gegebenen Funktion in der Multiindex-Notation:

 

Werte die Richtungsableitung im Punkt aus.

Differenzierbarkeit (total, partiell, Richtung)

5 Aufgaben
Aufgabe 1

Gegeben sei die Funktion mit:

1. Untersuche die Stetigkeit im Punkt .
2. Existieren die partiellen Ableitungen in ?
3. Ist im Punkt total differenzierbar?

Aufgabe 2

Gegeben sei die Funktion mit:

1. Zeige: ist auf stetig.
2. Untersuche die Existenz der partiellen Ableitungen in
3. Ist total differenzierbar in ?

Aufgabe 3

Untersuche die Funktionn

 

 in Bezug auf die

1. Existenz der partiellen Ableitungen

2. Existenz der Richtungsableitung in Richtung

Aufgabe 4

Untersuche die Funktion

in Bezug auf die

1. Existenz der partiellen Ableitungen

2. Existenz der Richtungsableitung in Richtung

Aufgabe 5

Untersuche die Funktion

 

 

in Bezug auf die

  1. Existenz der partiellen Ableitungen
  2. Existenz der Richtungsableitung in Richtung

Jakobi-Matrix (totale Ableitung)

5 Aufgaben
Aufgabe 1

Bestimme die Jakobi-Matrix zu mit

Aufgabe 2

Berechne für die Funktion:

die Jakobi-Matrix.

Aufgabe 3

Gegeben sind die Funktionen:

Berechne die Jacobi-Matrix mit:

auf 2 Arten:

1. unter Anwendung der mehrdimensionalen Kettenregel.

2. durch Einsetzen von in , dann Berechnung der Jacobi-Matrix.

Aufgabe 4

Bestimme die Jacobi-Matrix der folgenden Funktion an der angegebenen Stelle:

Aufgabe 5

Bestimme die Jacobi-Matrix der folgenden Funktion an der angegebenen Stelle:

Hesse-Matrix

6 Aufgaben
Aufgabe 1

Ermitteln Sie die Hesse-Matrix für die folgende Funktion mit :

Aufgabe 2

Ermitteln Sie die Hesse-Matrix fur die folgende Funktion mit :

Aufgabe 3

Ermitteln Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix für folgende Funktion :

Aufgabe 4

Berechnen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix von

Aufgabe 5

Ermitteln Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix für folgende Funktion :

Aufgabe 6

Ermitteln Sie die Hesse-Matrix fur die folgende Funktion:

mit und und

Extrema (mehrdimensional)

5 Aufgaben
Aufgabe 1

Bestimme die (lokalen) Extrema folgender Funktion:

Aufgabe 2

Bestimme die (lokalen) Extrema folgender Funktion:

Aufgabe 3

An welchen Stellen besitzt lokale oder globale Extremstellen (bzw. Sattelpunkte)? 

Unterscheide

Berechne die Extremwerte.

Aufgabe 4

An welchen Stellen besitzt mit lokale oder globale Extremstellen (bzw. Sattelpunkte)?

Aufgabe 5

Bestimme die (lokalen) Extrema folgender Funktion :

Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange)

6 Aufgaben
Aufgabe 1

Bestimme die Lösungen folgender Extremwertaufgabe

unter der Nebenbedingung:

Aufgabe 2

Bestimme die Extremstellen der Funktion

unter der Nebenbedingung:

Aufgabe 3

Bestimme die kritischen Punkte der folgenden Funktion

unter der Nebenbedingung

Aufgabe 4

Bestimme nach der Methode von Lagrange alle Stellen, an denen mögliche Extrema von unter der Nebenbedingung: vorliegen. Weise die Existenz von Maximum und Minimum nach:

Aufgabe 5

Ermittle die Extrema der Funktion

 

nach der Methode von Lagrange unter den Nebenbedingungen:

Weise zunächst die Existenz der Extrema nach.

Aufgabe 6

Bestimme die Extrema von ,
unter der Nebenbedingung ,