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Vektoranalysis und Mehrfachintegrale

Mehrfachintegrale berechnen

8 Aufgaben
Aufgabe 1

Berechne das Integral:

 

Aufgabe 2

Berechne den Wert des Integrals:

 

Aufgabe 3

Berechne den Wert des Integrals:

 

Aufgabe 4

Berechne den Wert des Integrals:

 

Aufgabe 5

Berechne den Wert des Integrals:

 

Aufgabe 6

Berechne den Wert des Integrals:

 

Aufgabe 7

Berechne den Wert des Integrals:

 

Aufgabe 8

Berechne den Wert des Integrals:

 

Satz von Gauß

5 Aufgaben
Aufgabe 1

Gegeben ist das Vektorfeld und der Abschnitt eines Paraboloids.

 

Berechne den Fluss des Vektorfeldes durch den Rand des Paraboloidstücks nach außen. Nutze dabei:

  1. eine direkte Berechnung
  2. den Satz von Gauß
Aufgabe 2

Gegeben ist ein Würfel mit:

 

 

In ihm herrscht das Strömungsfeld

 

Berechne den Fluss des Feldes durch die gesamte Oberfläche des Würfels. Begründe dabei kurz, warum der Satz von Gauß hier sinnvoll ist und nutze ihn anschließend.

Aufgabe 3

Gegeben ist der rechts abgebildete elliptische Halbkegelstumpf , welcher durch alle gegeben ist, die folgende Bedingungen erfüllen:

 

 

Weiter besteht der orientierte Rand aus dem Mantel , dem Boden und dem Vertikaldreieck .

Elliptischer Halbkegelstumpf in einem dreidimensionalen Koordinatensystem

 

Berechne: 

  1. Die Divergenz des Vektorfeldes mit
  2. Die nach außen weisenden Normalenvektoren von und von .
  3. Die Flussintegrale und
  4. Den Fluss des Feldes durch den Mantel mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß und der Ergebnisse aus 3.
Aufgabe 4

Gegeben ist ein Zylinder mit der Höhe und dem Radius (siehe Abbildung).

 

Berechne den Fluss nach außen durch die Oberfläche des Zylinders, der sich aufgrund des Vektorfeldes einstellt.

Zylinder mit Koordinatensystem im Ursprung und angezeichnetem Radius r und der Höhe h

 

Nutze den Satz von Gauß.

Aufgabe 5

Gegeben ist ein Kegel : und das Vektorfeld

 

Berechne den Gesamtfluss von durch die Kegeloberfläche : , indem du den Satz von Gauß verwendest.

 

Hinweis: Die Normale ist nach außen gerichtet.

Satz von Stokes

4 Aufgaben
Aufgabe 1

Es ist ein Kraftfeld im Raum gegeben, mit .
Zusätzlich liegt noch ein Dreieck im ersten Oktanten vor, welches durch die Eckpunkte definiert ist.

 

Berechne:

  1. die Rotation von
  2. die von geleistete Arbeit längs der orientierten Randkurve des vorliegenden Dreiecks. Nutze dabei den Satz von Stokes.

Dreieck mit angetragenem Koordinatensystem und Orientierung

Hinweis: Nutze für die Parameterdarstellung

Aufgabe 2

Gegeben ist ein Vektorfeld mit und eine Fläche .

  1. Berechne das Integral
  2. Bestätigen dein Ergebnis aus 1. mit Hilfe des Satzes von Stokes.
Aufgabe 3

Gegeben ist eine Halbkugelschale mit nach außen gerichteter Nomale:

und ein Vektorfeld:

Berechne:

  1.  

Hinweis: Nutze für 2. den Satz von Stokes.

Aufgabe 4

Nutze den Satz von Stokes zum lösen des Oberflächenintegrals:  mit und dem nach oben geöffneten Paraboloid

 

ä

 

Hinweis: Der Normalenvektor sei nach außen gerichtet.

Satz von Green

3 Aufgaben
Aufgabe 1

Gegeben ist ein Gebiet, welches durch die folgende Archimedische Spirale beschrieben wird:

 

 

Berechne den Flächeninhalt mit dem Satz von Green. Fertige zunächst eine Skizze an.

Aufgabe 2

Gegeben ist:

 

 

Bestimme des Flächeninhalt der durch die Kurve eingeschlossen ist, unter Verwendung der Grennschen Flächeninhaltsformel.

Aufgabe 3

Im ersten Quadranten ist ein Bereich gegeben, der von und berandet wird.

 

Berechne die Fläche von mit dem Satz von Green. Zeiche vorab eine Skizze.

Gebietsintegrale

7 Aufgaben
Aufgabe 1

Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius , dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Also das Integral:

 

  mit

 

Fertige eine Skizze an und rechne jeweils:

1.  mit kartesischen Koordinaten

2. mit Polarkoordinaten

Die Aufgabe soll verdeutlichen, welchen Vorteil Polarkoordinaten gegenüber kartesischen Koordinaten haben können.

Aufgabe 2

Ein Dreieck wird durch die drei Punkte gebildet. Fertige eine Skizze an und berechne anschließend den Flächeninhalt über ein Doppelintegral.

Aufgabe 3

Bestimme das folgende Integral über eine Transformation in Polarkoordinaten. Dabei ist ein gegebener Körper mit den Eigenschaften:

 

Aufgabe 4

Berechne das Volumen des folgenden Ellipsoiden :

 

 

mit

Aufgabe 5

Bestimme das Volumen und den Schwerpunkt des Körpers in -Richtung. Dabei ist die Dichte des Körpers konstant und es gilt:

 

 

Hinweis: Nutze für den Schwerpunkt

Aufgabe 6

Berechne das Integral:

 

 

mit   

Aufgabe 7

Berechne mit: 

 

Kurvenintegrale

8 Aufgaben
Aufgabe 1

Berechne das folgende orientierte Kurvenintegral , wobei

 

 

und gegeben ist durch:

 

Aufgabe 2

Berechne das folgende orientierte Kurvenintegral , wobei

 

 

und gegeben ist durch:

 

Aufgabe 3

Berechne das folgende orientierte Kurvenintegral , wobei

 

 

und gegeben ist durch:

  1. die gerade Strecke von nach
  2. einen Polygonzug (geradlinige Verbindung) von über nach
Aufgabe 4

Die Masse eines Drahtes soll in Abhängigkeit eines Parameters berechnet werden. Dabei ist die ortsabhängige Dichte durch die Funktion gegeben. 

Der Draht folgt dabei der Kurve mit:

 

Aufgabe 5

Berechne das Kurvenintegral

 

 

Dabei ist ein Bogen der durch die folgende Kurve, mit zwischen und , beschrieben wird:

 

Aufgabe 6

Gegeben sei das Vektorfeld

 

 

Berechne das Kurvenintegral vom Nullpunkt zum Punkt wobei

  1. die gerade Verbindung beider Punkte ist.
  2. die Kurve ist, die durch die folgende Parametrisierung festgelegt wird

Schaue dir die beiden Ergebnisse aus 1. und 2. an und treffe eine Aussage über die Wegunabhängigkeit.

Aufgabe 7

Berechne das folgende orientierte Kurvenintegral , wobei

 

 

und gegeben ist durch:

 

Aufgabe 8

Berechne das Kurvenintegral:

 

 

wobei eine Ellipse ist, welche die folgende Gleichung erfüllt:

 

Oberflächenintegrale und Fluss

5 Aufgaben
Aufgabe 1

Gegeben ist die Oberfläche einer Einheitskugel mit

 

 

Berechne nun das Oberflächenintegral mit:

 

Aufgabe 2

Gegeben ist ein im Ursprung der -Ebene stehender Zylinder , mit dem Radius und der Höhe .

  1. Beschreibe den Zylindermantel von durch Wahl geeigneter Koordinaten.
  2. Berechne den Fluss, der aufgrund des Vektorfeldes , von innen nach außen durch die Mantelfläche entsteht.

Aufgabe 3

Gegeben ist die Oberfläche einer Halbkugelfläche mit

 

 

Berechne nun das Oberflächenintegral mit:

 

 

Hinweis:

Aufgabe 4

Gegeben sei mit als eine beliebige Funktion von

 

Berechne mit

 

Die Oberfläche soll dabei so orientiert sein dass der Normalenvektor vom Ursprung weg zeigt.

Aufgabe 5

Gegeben ist ein Kreiskegel der Höhe (siehe Skizze) und ein Vektorfeld .
Berechne:

  1. Den Fluss des Vektorfeldes durch den Mantel .
    Die Normale ist dabei nach außen gerichtet ist.

  2. Den Fluss durch den Deckel wobei die Normale nach oben gerichtet sei.

Skizze eines im Ursprung aufgestellten Kreiskegels mit einer höhe h

Für den Mantel bietet sich die Darstellung mit den Zylinderkoorinaten an.