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Berechne das Integral:

Berechne den Wert des Integrals:

Berechne den Wert des Integrals:

Berechne den Wert des Integrals:

Berechne den Wert des Integrals:

Berechne den Wert des Integrals:

Berechne den Wert des Integrals:

Berechne den Wert des Integrals:

Gegeben ist das Vektorfeld und der Abschnitt eines Paraboloids.

Berechne den Fluss des Vektorfeldes durch den Rand des Paraboloidstücks nach außen. Nutze dabei:

1. eine direkte Berechnung
2. den Satz von Gauß

Gegeben ist ein Würfel mit:

In ihm herrscht das Strömungsfeld

Berechne den Fluss des Feldes durch die gesamte Oberfläche des Würfels. Begründe dabei kurz, warum der Satz von Gauß hier sinnvoll ist und nutze ihn anschließend.

Berechne: 

1. Die Divergenz des Vektorfeldes mit
2. Die nach außen weisenden Normalenvektoren von und von .
3. Die Flussintegrale und
4. Den Fluss des Feldes durch den Mantel mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß und der Ergebnisse aus 3.

Nutze den Satz von Gauß.

Gegeben ist ein Kegel : und das Vektorfeld

Berechne den Gesamtfluss von durch die Kegeloberfläche : , indem du den Satz von Gauß verwendest.

Hinweis: Die Normale ist nach außen gerichtet.

Hinweis: Nutze für die Parameterdarstellung

Gegeben ist ein Vektorfeld mit und eine Fläche .

1. Berechne das Integral
2. Bestätigen dein Ergebnis aus 1. mit Hilfe des Satzes von Stokes.

Gegeben ist eine Halbkugelschale mit nach außen gerichteter Nomale:

und ein Vektorfeld:

Berechne:

Hinweis: Nutze für 2. den Satz von Stokes.

Nutze den Satz von Stokes zum lösen des Oberflächenintegrals:  mit und dem nach oben geöffneten Paraboloid

Hinweis: Der Normalenvektor sei nach außen gerichtet.

Gegeben ist ein Gebiet, welches durch die folgende Archimedische Spirale beschrieben wird:

Berechne den Flächeninhalt mit dem Satz von Green. Fertige zunächst eine Skizze an.

Gegeben ist:

Bestimme des Flächeninhalt der durch die Kurve eingeschlossen ist, unter Verwendung der Grennschen Flächeninhaltsformel.

Im ersten Quadranten ist ein Bereich gegeben, der von und berandet wird.

Berechne die Fläche von mit dem Satz von Green. Zeiche vorab eine Skizze.

Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius , dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Also das Integral:

  mit

Fertige eine Skizze an und rechne jeweils:

1.  mit kartesischen Koordinaten

2. mit Polarkoordinaten

Die Aufgabe soll verdeutlichen, welchen Vorteil Polarkoordinaten gegenüber kartesischen Koordinaten haben können.

Ein Dreieck wird durch die drei Punkte gebildet. Fertige eine Skizze an und berechne anschließend den Flächeninhalt über ein Doppelintegral.

Bestimme das folgende Integral über eine Transformation in Polarkoordinaten. Dabei ist ein gegebener Körper mit den Eigenschaften:

Berechne das Volumen des folgenden Ellipsoiden :

mit

Bestimme das Volumen und den Schwerpunkt des Körpers in -Richtung. Dabei ist die Dichte des Körpers konstant und es gilt:

Hinweis: Nutze für den Schwerpunkt

Berechne das Integral:

mit   

Berechne mit: 

Berechne das folgende orientierte Kurvenintegral , wobei

und gegeben ist durch:

Berechne das folgende orientierte Kurvenintegral , wobei

und gegeben ist durch:

Berechne das folgende orientierte Kurvenintegral , wobei

und gegeben ist durch:

1. die gerade Strecke von nach
2. einen Polygonzug (geradlinige Verbindung) von über nach

Die Masse eines Drahtes soll in Abhängigkeit eines Parameters berechnet werden. Dabei ist die ortsabhängige Dichte durch die Funktion gegeben. 

Der Draht folgt dabei der Kurve mit:

Berechne das Kurvenintegral

Dabei ist ein Bogen der durch die folgende Kurve, mit zwischen und , beschrieben wird:

Gegeben sei das Vektorfeld

Berechne das Kurvenintegral vom Nullpunkt zum Punkt wobei

1. die gerade Verbindung beider Punkte ist.
2. die Kurve ist, die durch die folgende Parametrisierung festgelegt wird

Schaue dir die beiden Ergebnisse aus 1. und 2. an und treffe eine Aussage über die Wegunabhängigkeit.

Berechne das folgende orientierte Kurvenintegral , wobei

und gegeben ist durch:

Berechne das Kurvenintegral:

wobei eine Ellipse ist, welche die folgende Gleichung erfüllt:

Gegeben ist die Oberfläche einer Einheitskugel mit

Berechne nun das Oberflächenintegral mit:

Gegeben ist ein im Ursprung der -Ebene stehender Zylinder , mit dem Radius und der Höhe .

1. Beschreibe den Zylindermantel von durch Wahl geeigneter Koordinaten.
2. Berechne den Fluss, der aufgrund des Vektorfeldes , von innen nach außen durch die Mantelfläche entsteht.
   
   

Gegeben ist die Oberfläche einer Halbkugelfläche mit

Berechne nun das Oberflächenintegral mit:

Hinweis:

Gegeben sei mit als eine beliebige Funktion von

Berechne mit

Die Oberfläche soll dabei so orientiert sein dass der Normalenvektor vom Ursprung weg zeigt.

Für den Mantel bietet sich die Darstellung mit den Zylinderkoorinaten an.