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Wurzelkriterium

Das Wurzelkriterium dient der Untersuchung unendlicher Reihen auf ihre Konvergenz. Dieses Konvergenzkriterium basiert auf dem Vergleich mit der geometrischen Reihe und ist somit eng verbunden mit dem Quotientenkriterium.

Das Wurzelkriterium bietet sich an, wenn die Gestalt hat.

Zur Anwendung kannst du folgendermaßen vorgehen:

Wurzelkriterium

 
  1. Bringe die Reihe in die Form:

  2. Bilde löse den Betrag auf und ziehe (mit Potenzgesetzen) die -te Wurzel.

  3. Berechne den Grenzwert und interpretiere:


Das Wurzelkriterium ist schärfer als das Quotientenkriterium. Das bedeutet:

Wenn du mithilfe des Wurzelkriteriums keine Aussage treffen kannst, dann wird dir das Quotientenkriterium auch keine Aussage liefern.  

 

Andersherum ist das jedoch schon möglich. Wenn du also mit dem Quotientenkriterium keine Aussage treffen konntest, so kannst du noch das Wurzelkriterium versuchen.

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Beispiele

Untersuche, ob die folgende Reihe konvergiert:

Berechne zunächst :

Nutze aus, dass die Reihe erst bei startet und positiv ist für .

Bilde nun den Grenzwert von :

Interpretiere deine Berechnung:

Die Reihe konvergiert nach dem Wurzelkriterium, da

Untersuche, ob die folgende Reihe konvergiert:

Verwende das Wurzelkriterium, da von der Form ist!

Bilde den Grenzwert von :

Interpretiere dein Ergebnis:

Die Reihe divergiert nach dem Wurzelkriterium, da

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NameAufgaben
Wurzelkriterium8