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Leibnizkriterium

Es ist oft sinnvoll, das Leibnizkriterium zur Untersuchung einer Reihe auf Konvergenz zu benutzen, wenn ein alternierendes Vorzeichen wie z.B. besitzt. Da solche Reihen oft konvergieren, aber nicht absolut konvergieren, scheitern die anderen Konvergenzkriterien meistens.

Nutze zur Anwendung die folgenden Schritte:

Leibnizkriterium

 

Die Konvergenz der alternierenden Reihe ist gezeigt, wenn eine monoton fallende Nullfolge ist. Zeige also:

  1. ist eine Nullfolge, also: 
  2. ist monoton fallend, also:
    Nutze zum Nachweis eine äquivalente Umformung

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Beispiele

Prüfe die folgende Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz:

Nutze das Leibnizkriterium, da die Reihe wegen alterniert. Prüfe die Bedingungen des Leibnizkriteriums mit

Prüfe ob eine Nullfolge ist:

ist keine Nullfolge!

Somit divergiert die gegebene Reihe, da das notwendige Kriterium nicht erfüllt ist.

Prüfe die folgende Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz:

Nutze das Leibnizkriterium, da die Reihe wegen alterniert. Prüfe die Bedingungen des Leibnizkriteriums mit

Auf Nullfolge prüfen:

Um die Wurzeln zu eliminieren, multipliziere mit:

ist eine Nullfolge.

Monotonie (monoton fallend) prüfen:

ist monoton fallend.

Nach dem Leibnizkriterium konvergiert die gegebene Reihe

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NameAufgaben
Leibnizkriterium8