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Majoranten- und Minorantenkriterium

Mit dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium wird eine "komplizierte" Reihe auf den Ausdruck einer einfacheren Reihe zurückgeführt. Anschließend kann man dann das Konvergenzverhalten der einfacheren Reihe prüfen und so eine Aussage über die Konvergenz bzw. Divergenz treffen.

In der Praxis funktioniert das so, dass man die zu untersuchende Reihe durch Abschätzung nach oben/unten auf die bekannte Reihe harmonische Reihe zurückzuführt:

Majoranten- und Minorantenkriterium

 
  1. Stelle eine Vermutung über die Konvergenz/Divergenz der Reihe an. Überlege dafür, wie die Reihe sich für große verhält.

  2. Weise deine Vermutung durch Abschätzung nach oben bzw. unten und anschließendem Vergleich mit der harmonischen Reihe nach:

    • Majorantenkriterium (Konvergenznachweis):

      konvergiert absolut, wenn

    • Minorantenkriterium (Divergenznachweis):

      divergiert, wenn

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Beispiele

Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

Stelle eine Vermutung über die Konvergenz/Divergenz der Reihe an:

Unter Beachtung der höchsten Potenz verhält sich die Reihe für hohe wie und konvergiert somit vermutlich.

Weise die Konvergenz mit dem Majorantenkriterium nach:

Schätze den Ausdruck nach oben ab (Zähler vergrößern, Nenner verkleinern, höchste Potenz beibehalten):

Die gegebene Reihe konvergiert nach dem Majorantenkriterium, da die Reihe konvergiert. (Vergleich harmonische Reihe)

Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

Stelle eine Vermutung über die Konvergenz/Divergenz der Reihe an:

Unter Beachtung der höchsten Potenz verhält sich die Reihe für hohe wie und divergiert somit vermutlich.

Weise die Divergenz mit dem Minorantenkriterium nach:

Schätze nach unten ab:

Die gegebene Reihe divergiert nach dem Minorantenkriterium, da die Reihe divergiert. (Vergleich harmonische Reihe)

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NameAufgaben
Majo- und Minorantenkriterium11