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Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe ist eine wichtige Grundlage für viele Konvergenzkriterien. Mit ihr lassen sich z.B. das Quotienten- und das Wurzelkriterium beweisen.

Als geometrische werden Reihen mit der folgenden Form bezeichnet:

Geometrische Reihe

 

Reihen dieser Form sind sehr leicht auf Konvergenz zu untersuchen und ihr Wert kann mithilfe einer einfachen Formel berechnet werden. Das geht folgendermaßen:

Konvergenz und Wert der Geometrischen Reihe

 
  1. Führe die vorliegende Reihe auf die Form der geometrischen Reihe zurück:

  2. Interpretiere:
    • Die Reihe konvergiert für
    • Die Reihe divergiert für

  3. Falls die Reihe konvergiert, kann der Wert der Reihe berechnet werden:

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Beispiele

Berechne, falls konvergent den Wert der Reihe:

Führe die Reihe auf einen Ausdruck der geometrischen Reihe zurück:

Berechne den Grenzwert mit der Formel für geometrische Reihen mit

Die Reihe konvergiert mit dem Wert

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NameAufgaben
Geometrische Reihe8