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Teleskopreihe

Bei einer Teleskopreihe heben sich bestimmte Reihenglieder gegeneinander auf, während andere bestehen bleiben. Ziel der Berechnung ist es, herauszufinden welche Glieder insgesamt übrig bleiben und welchen Wert die Reihe somit besitzt. Kannst du den Wert berechnen so folgt auch sofort der Wert der vorliegenden Reihe. Es bieten sich die folgenden Schritte an:

Vorgehen Teleskopreihe

 
  1. Nutze ggf. eine Partialbruchzerlegung, um den Ausdruck auf eine Differenz zurückzuführen.

  2. Schreibe die ersten Glieder der Summe aus, indem du in die Bildungsvorschrift einsetzt.

  3. Betrachte die aufgeschrieben Glieder und schaue, ob sich ein Muster ergibt. Welche Glieder heben sich gegenseitig auf und welche nicht. Überlege weiter, welcher Wert sich daraus für die Reihe mit unendlich vielen ausgeschriebenen Gliedern ergibt (Summe aller Werte, die sich nicht auslöschen).

Beispiel:

Ein klassisches Beispiel für eine Teleskopreihe ist die folgende Reihe: 

Betrachte nun die ersten Glieder der Summe. Du wirst feststellen, dass sich einige Terme gegeneinander aufheben: 

  

Wir vermuten also, dasss es sich bei der Reihe um eine Teleskopreihe handelt. Um diese Vermutung zu bestätigen, betrachtest du jetzt die ersten Glieder der Summe (-te Partialsumme):

Jetzt kannst du gegen unendlich laufen lassen und den Grenzwert berechnen und erhältst so den Wert der Teleskopreihe: 

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Beispiele

Untersuche die folgende Reihe auf ihr Konvergenzverhalten und berechne ggf. ihren Wert:

In der gegebenen Reihe ist eine Summe versteckt. Kein gängiges Kriterium sinnvoll!

Versuche den Wert der Reihe zu bestimmen. (Teleskopsumme)

Zerlege zunächst den Ausdruck um eine Differenz zu erhalten. (mit dem Ziel anschließend die ersten Reihenglieder besser ausschreiben zu können)

Nutze eine Partialbruchzerlegung:

Ansatz:

Umformung:

Koeffizientenvergleich:

Somit gilt für die Reihe:

Schreibe die ersten Glieder der Summe aus (Partialsumme):

Hier heben sich viele Glieder der Reihe gegenseitig auf! Der einzige Wert der sich nicht aufhebt ist der Zweite (Grün).

Die Reihe konvergiert mit dem Wert

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NameAufgaben
Teleskopreihe5