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Taylorreihe

Eine Funktion, die man unendlich oft differenzieren kann, lässt sich auch als eine sogennante Taylorreihe darstellen. Dabei wird die Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe ausgedrückt. Dies nutzt man häufig um den Wert einer gegebenen Funktion an einer Stelle näherungsweise zu berechnen (approximieren). Die Taylorreihe ist also gewissermaßen ein Werkzeug, mit dem du aus komplizierten, unhandlichen Funktionen einfachere Ausdrücke machen kannst. Taylorreihen haben die Form:

Taylorreihe einer Funktion

 

ist dabei die Entwicklungsstelle

Taylorreihe bestimmen

 
  1. Berechne die ersten Ableitungen der Funktion , bis du ein Muster erkennst.

  2. Schreibe eine allgemeine Bildungsvorschrift für die -te Ableitung von auf:


  3. Beweise deine gefundene Bildungsvorschrift mittels vollständiger Induktion.

  4. Setze den Entwicklungspunkt und die Bildungsvorschrift in die allgemeine Formel für die Taylorreihe ein und vereinfache:

Bei Aufgaben mit z.B. ist es nicht trivial eine allgemeine Formel für die -te Ableitung zu finden. Es hilft dann oft die ersten Glieder eines passenden Taylorpolynoms (ausgewertet an der Stelle ) aufzuschreiben und anschließend eine passende Bildungsvorschrift für die Taylorreihe abzuleiten.

 

Abgrenzung zum Taylorpolynom

Den Zusammenhang zwischen Taylorreihe und Taylorpolynomen erkennt man am besten wenn man die Taylorreihe Gliedweise aufschreibt. Dabei wird jedes Glied als ein Taylorpolynom bezeichnet:

Hierbei kann man sich merken, dass die Genauigkeit mit jedem hinzugefügten Taylorpolynom zunimmt. Das bedeutet, dass je höher der Grad einer Taylorreihe ist, desto genauer stimmt sie mit der vorgegebenen Ausgangsfunktion überein. Aus diesem Grund ist die Taylorreihe (siehe oben) auch eine exakte Darstellung der Funktion, da sie aus "unendlich" vielen Taylorpolynomen besteht und daher auch unendlich genau ist.

Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom mit unendlichster Ordnung.

 

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Beispiele

Berechne die Taylorreihe für um den Entwicklungspunkt .

Bestimme die ersten Ableitungen um ein allgemeines Ableitungsmuster zu erkennen:

Für die erste Ableitung ergibt sich (Produktregel):

Für die zweite Ableitungen ergibt sich (Produktregel):

Schreibe eine allgemeine Formel für die Ableitungen der Funktion auf:

Weise mittels vollständiger Induktion nach, dass deine gefundene Formel für immer gilt:

1. Induktionsanfang:

2. Induktionsvoraussetzung (IV):

Die Aussage gilt für ein festes

3.Induktionsbehauptung und Induktionsschluss:

Für soll gelten:

Nutze , setze die Induktionsvoraussetzung ein, leite ab und forme um:

Die gefundene Formel gilt also nach dem Prinzip der vollständigen Induktion!

Setze nun alles in die allgemeine Formel für die Taylorreihe ein und fasse zusammen:

Das Taylorreihe ergibt sich zu:

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NameAufgaben
Taylorreihe6