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Diagonalisierung einer Matrix

Formal heißt eine Matrix diagonalisierbar, falls es eine invertierbare Matrix und eine Diagonalmatrix gibt, so dass

Um eine Matrix zu diagonalisieren, verwende die folgenden Schritte:

Diagonalisieren einer Matrix

 
  1. Berechne alle Eigenwerte der Matrix .

  2. Bestimme die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte . Diese entspricht jeweils der Häufigkeit mit der ein Eigenwert vorliegt.

  3. Ermittel nacheinander die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte und schaue ob . Die geometrische Vielfachheit entspricht der Dimension des Eigenraums bzw. der Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu einem Eigenwert.

  4. Falls für alle Eigenwerte gilt, so ist die Matrix diagonalisierbar mit . Die Diagonaleinträge in sind hierbei die berechneten Eigenwerte und die Spalten von sind die zugehörigen Eigenvektoren.
    ,       

Liegt eine Matrix in der diagonalisieren Form vor, so können sehr einfach Potenzen von berechnet werden mit:

Eine schnelle Berechnung der Determinante erfolgt über

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NameAufgaben
Diagonalisierung6