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Komplexe Gleichungen lösen

Ziel ist es die komplexen Zahlen zu finden, welche die gegebene Gleichung lösen. Kurz: alle passenden Kombinationen von , (kartesisch) oder , (polar).

Unterscheide das Lösungsverfahren nach Art der vorliegenden Gleichung:

Lineare komplexe Gleichungen (n=1) lösen

 

Ist die höchste Potenz (), löse direkt nach auf, falls möglich. Falls nicht tue alternativ folgendes:

  1. Ersetze jedes durch und jedes

  2. Berechne Werte für und .
    Es kann helfen den entstandenen Ausdruck nach Termen ohne "i" (Realteil) und mit (Imaginärteil) zu trennen. Anschließend kannst du jeweils eine Bedingung für den Real- und Imaginärteil aufschreiben, woraus du 2 Gleichungen erhälst.

Quadratische komplexe Gleichung (n=2):

 
  1. Bringe die Gleichung auf die Form

  2. Nutze die -Formel:

Kubische komplexe Gleichung (n=3):

 
  1. Rate eine (reelle) Nullstelle.

  2. Führe eine Polynomdivision mit der gefundenen Nullstelle durch.

  3. Löse das Restpolynom mittels -Formel (siehe quadratische Gleichung).

Hinweis: Wenn ein Polynom mit vorliegt, musst du ggf. mehrere Polynomdivisionen durchführen, bis eine quadratische Gleichung vorliegt.

Biquadratische Gleichung (n=2,4,6...)

 

Biquadratische Gleichung ():

  1. Substituiere:

  2. Löse die neu entstandenen Gleichung mittels -Formel.


  3. Resubstituiere, um die 4 Lösungen für zu erhalten:



Verlinkte Aufgabentypen

NameAufgaben
Komplexe Gleichungen6