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(Allgemeine) harmonische Reihe

Die allgemeine harmonische Reihe eignet sich besonders gut um abzuschätzen, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert. Sie hat die Form:

Allgemeine harmonische Reihe

 

Ob die allgemeine harmonische Reihe konvergiert oder divergiert kannst du ganz einfach überprüfen, indem du dir das genauer anschaust:

Die allgemeine harmonische Reihe konvergiert wenn gilt und divergiert für .

 

Weitere Formen:

Zusätzlich zur allgemeinen Variante der harmonischen Reihe gibt es noch weitere (spezial) Formen. Dazu gehört insbesondere die harmoniesche Reihe und die alternierende harmonische Reihe.

Harmonische Reihe

Die harmonische Reihe erhält man, indem man für die allgemeine harmonische Reihe setzt. 

Harmonische Reihe

 

Sie setzt sich aus den Gliedern der Nullfolge zusammen und hat ausgeschrieben die Form:

Obwohl die Folge eine Nullfolge ist, besitzt die Reihe keinen Grenzwert im endlichen und ist somit divergent.

Die harmonische Reihe divergiert. 

 



Alternierende Harmonische Reihe:

Die alternierende harmonische Reihe hat die Form:

Alternierende harmonische Reihe

 


Alternierend bedeutet, dass die Glieder der Reihe ihr Vorzeichen wechseln. Ausgeschrieben ergibt sich also:

Im Gegensatz zur harmonischen Reihe konvergiert die alternierende harmonische Reihe. Die Konvergenz kann mithilfe des Leibniz-Kriteriums nachgewiesen werden.

Die alternierende harmonische Reihe konvergiert.

 

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