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Riccatische DGL

Riccatische DGL´s sind, was ihre Form und Lösung angeht, eng verbunden mit der Bernoullischen DGL und linearen DGL´s 1. Ordnung. 

Man nennt eine Differentialgleichung Riccatische DGL, wenn sie die folgende Form hat:

Form der Riccatischen DGL

 


Dabei können und ganz beliebige Funktionen sein. Falls , dann spricht man von einer Bernoullischen DGL.


Um die allgemeine Lösung dieser Art von DGL zu finden, musst du zunächst eine spezielle Lösung finden. Für diese spezielle Lösung gibt es kein Lösungsverfahren, du musst sie also raten oder sie wird dir sonst irgendwie mitgeteilt (z.B. in der Aufgabenstellung). 

Allgemeine Lösung einer Riccatischen DGL bestimmen

 

Mit gegebener spezieller Lösung , kannst du die allgemeine Lösung folgendermaßen bestimmen:

  1. Setze die Funktion in deine Riccatische DGL ein. Nach einigem Umformen* erhältst du dann: 


  2. Jetzt hast du eine Bernoullische DGL für und .

  3. Ähnlich wie beim Lösen der Bernoulli-DGL transformierst du nun deine DGL mit und erhältst dadurch eine lineare DGL 1. Ordnung für :


  4. Löse jetzt die lineare DGL 1. Ordnung. Dadurch erhältst du eine Lösung für .

  5. Jetzt setzt du diese allgemeine Lösung für in die Transformationsgleichungen ein und transformierst zurück:

Herleitung der DGL in Schritt 1:

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NameAufgaben
Riccatti-DGL6