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Unbestimmte und bestimmte Divergenz

Wenn es um divergente Folgen handelt, kann man zwischen zwei verschiedenen Arten der Divergenz unterscheiden, nämlich unbestimmter und bestimmter Divergenz.

Um sich nun mathematisch korrekt ausdrücken zu können, sollte zunächst aber der Begriff der uneigentlichen Konvergenz erklärt werden.

Wir betrachten den Ausdruck Dieser Ausdruck impliziert ja gewissermaßen, dass die Folge gegen unendlich "konvergiert", obwohl sie natürlich eigentlich divergiert. Per Definition hat eine konvergente Folge nämlich einen endlichen, rellen Grenzwert. Man nennt Folgen, die entweder den Grenzwert oder den Grenzwert haben, bestimmt divergent oder auch uneigentlich konvergent (das "uneigentlich" ist notwendig, damit wir von echter Konvergenz gegen einen reellen Grenzwert unterscheiden können). 

Von unbestimmter Divergenz spricht man, falls eine Folge (Funktion) zwar divergiert, aber man nicht eindeutig sagen kann, wohin sie divergiert. Sie hat also keinen festen und alleinigen (endlichen oder unendlichen) Grenzwert.

Unbestimmte und bestimmte Divergenz

 

Eine Folge ist bestimmt divergent (bzw. uneigentlich konvergent), wenn sie entweder gegen oder gegen strebt. 

Eine Folge ist unbestimmt divergent, wenn sie divergiert, sich aber kein fester und alleiniger (endlicher oder unendlicher) Grenzwert bestimmen lässt.


Beispiele:

  • ist unbestimmt divergent.

  • ist unbestimmt divergent.

  • ist bestimmt divergent (bzw. uneigentlich konvergent) gegen .

  • ist bestimmt divergent (bzw. uneigentlich konvergent) gegen für x gegen .

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