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Partielle Ableitungen

Partielle Ableitungen kannst du von Funktionen bilden, die von mehreren Veränderlichen abhängen. 

Partielle Ableitung

 

Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.

Partiell ableiten

 

Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.
Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.


Notation
Wenn du die Funktion nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben: 

Wenn du die Funktion zweimal nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben: 

Man nennt das eine Ableitung 2. Ordnung. 
Wenn du erst nach und dann nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben:

Auch das ist eine Ableitung 2. Ordnung. Nach welchen Variablen abgeleitet wird, ist also für die Namensgebung egal.

Nach dem Satz von Schwarz gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also

 

Anwendungen der partiellen Ableitung:

  • Extremwertberechnung in höheren Dimensionen
  • Gradientenberechnung
  • Talorreihen
  • Ableitungen von impliziten Funktionen


Hier ein paar Beispiele:
Wir betrachten die Funktion :




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Verlinkte Aufgabentypen

NameAufgaben
Implizite Funktionen6
Banachscher Fixpunktsatz5
Satz über Umkehrabbildungen (lokal)5
Taylorpolynome (mehrdimensional)7
Partielle Ableitungen (Gradient)7
Jakobi-Matrix (totale Ableitung)5
Hesse-Matrix6
Extrema (mehrdimensional)5
Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange)6
Implizite Funktionen6