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Das totale Differential

Das totale Differential fasst gewissermaßen alle Informationen zu den partiellen Ableitungen zusammen und gibt die Gesamtänderung einer Funktion an, wenn man eine ihrer Variablen minimal verändert. 

Wie du gleich erkennen wirst, ist es also ganz leicht, das totale Differential zu berechnen, wenn du den Gradienten (also alle partiellen Ableitungen) bereits kennst. 

Totales Differential

 

Mit dem totalen Differential kannst du beschreiben, wie sich der Funktionswert einer Funktion mehrerer Variablen an einem Punkt für kleine Änderungen der Variablen verhält (infinitesimale Differenzen):

Du multiplizierst dafür die partiellen Ableitungen jeweils mit den Differentialen der jeweiligen Variable und summierst dann alle Werte auf.

Totales Differential bestimmen

 
  1. Bilde zunächst alle partiellen Ableitungen deiner Funktion.

  2. Multipliziere nun die partiellen Ableitungen jeweils mit dem Differential der Variable nach der du abgeleitet hast.

  3. Summiere alle diese Werte auf zum totalen Differential.

Beispiel: 
Betrachte die Funktion


Schritt 1:

Schritt 2: 


Schritt 3: 

Wert des Differentials an einer bestimmten Stelle

Wenn du jetzt zusätzlich einen Punkt und die Werte der Differentiale und gegeben hast, kannst du durch Einsetzten ganz einfach den Wert des totalen Differentials bestimmen. 

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