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Definitheit von Matrizen

Die Definitheit ist eine Eigenschaft, welche einer quadratischen Matrix zugeordnet werden kann. Die Definitheit einer Matrix zu kennen, ist sowohl in der Physik als auch in der Mathematik oft sehr wichtig. Ein Beispiel sind die Extremwertaufgaben im mehrdimensionalen Raum. Falls z.B. die Hesse-Matrix einer Funktion an einem kritischen Punkt positiv definit ist, so weisst du das in diesem Punkt ein lokales Minimum besitzt.

Kategorisierung:

Bei der Frage nach der Definitheit werden insgesamt 5 Arten unterschieden, die formal über die folgende Definition festegelegt sind:

Definitheit einer Matrix 

 

Sei ein beliebiger n-zeiliger Spaltenvektor mit . Eine quadratische Matrix heißt:

 

positiv definit falls
positiv semidefinit falls
negativ definit falls
negativ semidefinit falls
indefinit falls weder positiv noch negativ (semi-)definit

Bestimmen der Definitheit:

Um die Definitheit einer Matrix zu bestimmen gibt es verschiedene Vorgehensweisen. Die beiden bekanntesten sind das Hauptminorantenkriterium und die Eigenwertmethode. Bei ersterem erfolgt die Berechnung über die Hauptminoren der Matrix und bei der Eigenwertmethode über die Bestimmung der Eigenwerte.

Die Entscheidung, welches Verfahren sich im einzelnen anbietet liegt daran, ob du nur Informationen über positiv/negativ Definitheit suchst oder auch über semidefinit und indefinit. Merke dir hierfür:

  • Willst du lediglich untersuchen ob eine Matrix positiv oder negativ Definit ist, so nutze das Hauptminorantenkriterium.
  • Ist zusätzlich interessant ob die Matrix semidefinit/undefinit ist, so nutze die Eigenwertmethode.
 

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NameAufgaben
Extrema (mehrdimensional)5
Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange)6