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Differentialgleichungen

Differentialgleichung

 

Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.

Kategorisierung von Differentialgleichungen

Gewöhnlich - Partiell

Die gesuchte Funktion einer gewöhnlichen DGL hängt nur von einer Variablen ab, es kommen also keine partiellen Ableitungen vor.
Beispiel:
Die gesuchte Funktion einer partiellen DGL hängt von mehreren Variablen ab und beinhaltet partielle Ableitungen.
Beispiel:

Ordnung

Die Ordnung einer DGL erkennst du ganz einfach an der höchsten Ableitung, die in der Gleichung vorkommt. 
ist beispielsweise eine (gewöhnliche) DGL 2. Ordnung, weil die höchste vorkommende Ableitung 2. Ordnung ist.

Linear - Nicht linear

Bei einer linearen DGL kommen nur Linearkombiniationen der einzelnen Funktionsterme vor. Die lineare DGL ist also von der Form

Beispiel: ist eine (gewöhnliche) lineare DGL (2. Ordnung). 
Auch ist eine lineare DGL, obwohl der Koeffizient eine nicht-lineare Funktion ist. Es geht also wirklich nur darum, ob ein in einer nicht-linearen Funktion steckt!
Falls die gesuchte Funktion oder eine ihrer Ableitungen in eine nicht-lineare Funktion (z.B. oder ) verstrickt ist, dann ist die DGL nicht-linear
Beispiel: ist also eine nicht-lineare DGL (erster Ordnung).

Homogen - Inhomogen

Diese Kategorisierung gibt es nur für lineare Differentialgleichungen!
Wenn Funktionsterme existieren, die von der Form sind, die also nicht die gesuchte Funktion oder eine ihrer Ableitungen beinhalten, dann ist die DGL inhomogen
Beispiel: . Man nennt auch die Störfunktion.
Wenn , also alle vorkommenden Funktionsterme ein oder ein beinhalten, dann ist die Funktion homogen.
Beispiel:  

Explizit - Implizit

Eine explizite DGL erkennst du ganz leicht daran, dass sie nach der höchsten Ableitung umgestellt ist. Die höchste Ableitung steht also alleine auf einer Seite der Gleichung. 
In allen anderen Fällen ist die DGL implizit, lässt sich aber oft leicht durch Umstellen in explizite Form bringen.

Kategorien von DGLs

 

gewöhnliche DGL: nur Ableitungen von einer Variablen

Beispiel:

 

partielle DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen

Beispiel:

 

Ordnung: Anzahl der höchsten Ableitung

Beispiel: (diese DGL ist 2. Ordnung).

 

lineare DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen

Beispiel:

 

nicht-lineare DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet

Beispiel:

 

homogene DGL: es gibt keinen Term ohne (die gesuchte Funktion oder ihre Ableitungen)

Beispiel:

 

inhomogene DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne )

Beispiel:

 

explizite DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, implizite DGL).

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