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Variation der Konstanten

Mit der Variation der Konstanten lassen sich inhomogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung der Form lösen.

Variation der Konstanten

 
  1. Bringe die lineare DGL 1. Ordnung zunächst in die Form

  2. Löse dann die homogene lineare DGL 1. Ordnung mittels Trennung der Variablen
    Das Ergebnis ist von der Form

  3. Jetzt kommt die Variation der Konstanten ins Spiel: Ersetze die Konstante durch eine Funktion , die von x abhängt. 


  4. Setze diesen Ausdruck für und seine  Ableitungen in die zu lösende DGL ( ) ein und löse nach auf.

  5. Aus dieser Gleichung findest du durch einmaliges Integrieren die Funktion

  6. Setze die im letzten Schritt gefundene Funktion in aus Schritt 3 ein. Jetzt hast du die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen DGL 1. Ordnung.

Zu Schritt vier ist hier eine beispielhafte Rechnung für das Auflösen nach :

Eine Alternative für das Vorgehen der Variation der Konstanten ist die folgende Formel:

Lösung inhomogener linearer DGL

 

Eine inhomogene lineare Differentialgleichung der Form kann mit folgender Formel gelöst werden:

Wobei die Stammfunktion von ist und eine Konstante, die mit Hilfe einer Anfangsbedingung ermittelt werden kann.

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NameAufgaben
Variation der Konstanten (inhomogen)5