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Gebietsintegrale (Mehrfachintegrale)

Mehrdimensionales Gebietsintegral

 

Sei mit

dann ist das 2-dimensionale Gebietsintegral folgendermaßen definiert: 

 

 

Die Definition für das 2-dimensionale Gebietsintegral lässt sich ganz leicht auf höherdimensionale Gebietsintegrale übertragen: 

3-dimensionales Gebietsintegral

 

 

usw.

Anwendungsbeispiele aus der Physik:

  1. Flächeninhalt (2-dimensional):

  2. Masse bei gegebener Dichte (3-dimensional):

Berechnung von Mehrfachintegralen

 

am Beispiel eines 3-dimensionalen Gebietsintegrals. Gegeben sei das Integral:

 

  1. Berechne das innere Integral . Dabei werden und als konstant angenommen. 
    Du erhältst eine Funktion, die nur noch von und abhängt:

  2. Berechne das mittlere Integral bzw. . Dabei wird als konstant angenommen. 
    Du erhältst eine Funktion, die nur noch von abhängt:

  3. Berechne das äußere Integral
    Dies liefert dir dann dein Ergebnis. 

Falls alle Integrationsgrenzen konstant sind, kannst du die Reihenfolge der Integrationen vertauschen. 

Das Verfahren lässt sich auf -dimensionale Integrale übertragen. Du arbeitest dich einfach immer von innen nach außen vor und hältst jeweils alle Variablen, nach denen du nicht integrierst, fest.