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Transformationssatz (Substitutionsregel)

Mit dem Transformationssatz kannst du das Verhalten eines Integrals unter einer Koordinatentransformation untersuchen. Das ist oft nützlich, wenn du ein Integral berechnen willst, das sich aus Symmetriegründen in einem anderen Koordinatensystem leichter berechnen lässt. 

Transformationssatz

 

Sei eine bijektive, stetig partiell differenzierbare Funktion mit

 

und mit Jacobi-Matrix

 

Dann gilt für jede auf stetige Funktion mit

 

 

Dabei ist das Transformationsgebiet zu .





Polarkoordinaten

 

 

Jacobi-Matrix:  

 

Determinante der Jacobi-Matrix:

Zylinderkoordinaten

 

 

Jacobi-Matrix:

 

Determinante der Jacobi-Matrix: 



Kugelkoordinaten

 

 

Jacobi-Martrix:

 

Determinante der Jacobi-Matrix:



Wann verwendest du welche Koordinatentransformation? 

 

Kartesische Koordinaten:

Geraden, Parablen, Hyperbeln (im ) und

Ebenen (im )

 

Polarkoordinaten: 

Ellipsen, Kreise, Spiralen (im )

 

Zylinderkoordinaten:

Körper, die durch Rotation einer Fläche um eine Achse entstehen, z.B. Zylinder oder Kegel (im )

 

Kugelkoordinaten:

Kugeln, Ellipsoide (im )