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Kurvenintegrale

Orientiertes Kurvenintegral

 

Sei ein stetiges Vektorfeld, also eine Abbildung eines Vektors auf einen Vektor :

 

 

 

Sei außerdem eine stückweise stetig differenzierbare Parameterdarstellung einer Kurve .

 

Dann ist das orientierte Kurvenintegral folgendermaßen definiert:

Physikalische Interpretation: Wenn man das Vektorfeld als Kraftfeld auffasst, dann ist wie Arbeit, die im Kraftfeld auf dem Weg verrichtet wird. 

Absolutes, nicht orientiertes Kurvenintegral

 

Sei eine skalare und stetige Funktion und 

eine stückweise stetig differenzierbare Parameterdarstellung der Kurve . 

Dann ist das absolute, nicht orientierte Kurvenintegral folgendermaßen definiert: 

 

 

Physikalische Interpretation: Wenn eine liniendichte ist, kann als Masse eines Drahtes verstanden werden. Falls , kannst du einfach als Kurvenlänge verstehen. 

Berechnung eines Kurvenintegrals

 
  1. Setze die Parameterdarstellung der Kurve in das Vektorfeld ein. 
    Du erhältst . 

  2. Berechne die erste Ableitung der Parameterdarstellung: .

  3. Setze beides in das Integral ein und integriere bezüglich . Dabei ist das Skalarprodukt. 

  4. Wenn es sich nicht um ein Vektorfeld, sondern um eine skalare stetige Funktion handelt, berechnest du noch und (anstatt natürlich) und löst das Integral: 

Wegunabhängigkeit

 

Wenn das orientierte Kurvenintegral für zwei Punkte a (Starwert) und b (Endwert) für beliebige Kurven denselben Wert hat, nennt man das Integral wegunabhängig.