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Zentrale Kräftegruppen im Raum

Merke: Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich bei einer zentralen Kräftegruppe in einem gemeinsamen Punkt.

 

In Analogie zur Darstellung einer Kraft in der Ebene durch zwei Komponenten, die senkrecht aufeinander stehen, können wir eine Kraft im Raum eindeutig durch drei aufeinander senkrecht stehende Komponenten darstellen.

In kartesischen Koordinaten und können wir das wie folgt darstellen (vgl. mit Kraftvektor in der Ebene).

Kraftvektor im Raum

 

 

Betrag und Richtung:

Die Winkel und sind voneinander abhängig (erkennbar an dem gemeinsamen Nenner auf der rechten Seite der Gleichung der Richtungkosinus). Wenn wir den Betrag des Kraftvektors quadrieren und in die sich daraus ergebende Gleichung die nach und umgestellten Richtungskosinus einsetzen, so ergibt sich der Zusammenhang:

In der Ebene ergibt sich die Resultierende zweier Kräfte und aus der Konstruktion des Kräfteparallelogramms, also aus der Vektoraddition:

In einer räumlichen zentralen Kräftegruppe aus Kräften können wir die Resultierende durch die aufeinander folgende Anwendung des Parallelogrammgesetzes, analog zur Ebene, als Vektorsumme aller Kräfte beschreiben:

Wenn wir die Kräfte durch ihre Komponenten darstellen, erhalten wir:

Resultierende im Raum

 

Demnach gilt für die Komponenten der Resultierenden im Raum:

Komponenten der Resultierenden

 

Mit obiger Formel aus Kraftvektor im Raum können wir den Betrag und die Richtung berechnen:

Merke: In Analogie zum Problem in der Ebene ist eine zentrale Kräftegruppe im Raum im Gleichgewicht, wenn sich ihre Resultierende zu Null addiert.

 



Gleichgewichtsbedingung

 

 

im Raum entspricht dies den drei skalaren Bedingungen:

Diese drei Bedingungen können wir für die Bestimmung von drei Unbekannten verwenden.

Verlinkte Aufgabentypen

NameAufgaben
Unbekannte Kräfte ermitteln (Gleichgewicht)15