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Gradientenfelder

auch Potentialfeld oder konservatives Feld

Gradientenfeld

 

Man nennt ein stetiges Vektorfeld auch ein Gradientenfeld, falls ein Skalarfeld existiert mit also mit

ist hier die Stammfunktion (das Potential) von .

Beispiel: 

Das Vektorfeld ist ein Gradientenfeld, denn es existiert die Stammfunktion  

Probe:

Sternförmigkeit/ einfach zusammenhängende Gebiete

 

Man nennt ein Gebiet sternförmig, falls ein Punkt existiert, sodass für jeden Punkt die Strecke ganz in liegt. Man sagt auch das Gebiet ist einfach zusammenhängend. 

Beispiel: 

wäre nicht einfach zusammenhängend, da das Gebiet ein "Loch" hat. 

Einfach zusammenhängende Gebiete dürfen also keine "Definitionslöcher" haben. 

Kurvenintegral im Gradientenfeld

 

Ist ein stetiges Vektorfeld, für das eine Stammfunktion existiert ( ist also ein Gradientenfeld), dann gilt für das Kurvenintegral folgender Zusammenhang:

Das Kurvenintegral ist also nur abhängig vom Startpunkt und Endpunkt , und somit wegunabhängig. 

Existenz des Potentials (Stammfunktion)

 

Es sei Sei ein offenes, einfach zusammenhängendes Gebiet und ein stetig differenzierbares Vektorfeld.

Ein Potential (Stammfunktion) existiert genau dann, wenn gilt: 

mit

 

Man nennt auch die Integrabilitätsbedingungen. 

 

Für und kann man die Integrabilitätsbedingung einfach als formulieren. 

Existenz des Potentials (Stammfunktion) überprüfen

 

im Fall oder

 

  1. Falls musst du das zweidimensionale Vektorfeld zunächst in ein dreidimensionales Vektorfeld konvertieren. Das geht ganz einfach so:
     
  2. Berechne nun und überprüfe, ob

  3. Überprüfe, ob sternförmig bzw. ein einfach zusammenhängendes Gebiet ist. 

Wenn Schritt 2 und 3 erfüllt sind, existiert das Potential.

 

 

Bestimmen des Potentials (Stammfunktion) eines Gradientenfeldes

 

Sei ein Gradientenfeld mit . Die Stammfunktion kannst du folgendermaßen bestimmen:

 

  • 1. Fall:
  1. Berechne das Integral ist dabei erstmal nicht genauer definiert. 

  2. Berechne die Ableitung . Nach Definition des Gradientenfeldes gilt: Ersetze also durch und stelle nach um. 

  3. Durch Integration von nach mit der Konstanten erhältst du . Das musst du jetzt nur noch in aus Schritt einsetzen und du erhältst die gesuchte Stammfunktion.

 

  • 2. Fall: 
  1. Berechne das Integral ist dabei erstmal nicht genauer definiert.

  2. Berechne die Ableitung . Nach Definition des Gradientenfeldes gilt: Ersetze also durch und stelle nach um. 

  3. Durch Integration von nach mit der Konstanten erhältst du Dieses setzt du nun in das aus Schritt 1 ein und erhältst  bis auf einen Summanden

  4. Berechne nun die Ableitung . Nach Definition des Gradientenfeldes gilt wieder: Ersetze also durch und stelle nach um.

  5. Durch Integration von nach mit der Konstanten erhältst du .
    Wenn du nun in aus Schritt 3 einsetzt, erhältst du die gesuchte Stammfunktion.