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Gleichgewichtsbedingungen in einer allgemeinen ebenen Kräftegruppe (Beweiszettel)

Wir können jede ebene allgemeine Kräftegruppe auf eine zentrale Kräftegruppe und eine Momentengruppe um einen beliebig gewählten Bezugspunkt reduzieren. Die Gleichgewichtsbedingungen können wir auf jede dieser Gruppen anwenden. Danach befindet sich ein starrer Körper im Gleichgewicht, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Dabei ist die Anzahl der Bedingungen abhängig von der Anzahl der Bewegungsmöglichkeiten (Freiheitsgrade). In der Ebene haben wir drei Freiheitsgrade (jeweils eine Translation in - und - Richtung und eine Rotation in Normalenrichtung zur von - und - Achse aufgespannten Ebene) und dementsprechend drei Gleichgewichtsbedingungen.

Merke: Die Anzahl der Freiheitsgrade entspricht der Anzahl an Gleichgewichtsbedigungen.

 

hier eine Beispielskizze (Gross Abb. 3.12) folgende  Absatz+Gleichung streichen, falls keine Skizze zur Hand

Jetzt wollen wir prüfen, ob die Wahl des Bezugspunkts wirklich beliebig ist. Dazu bilden wir entsprechend des vorangegangenen Beispiels die Summe der Momente um einen Punkt A eines Starrkörpers.

Wenn obige Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind, so folgt aus der Gleichung für dass ist. Zudem ergibt sich dann für Daraus folgt also, dass die Wahl des Bezugspunkts irrelevant ist. Diesen können wir sogar außerhalb des Körpers setzen. Diese Wahl der Gleichgewichtsbedingungen ist nicht die einzige, die wir treffen können, um dies zu zeigen. Statt zwei Kraft- und einer Momentengleichgewichtsbedingung können wir auch eine Kraft- und zwei Momentenbedingungen verwenden. Wenn wir die Bedingungen

einsetzen in obige Gleichung für folgt daraus für , sofern nur ist. Also sind Gleichgewichtsbedingungen aus der ersten Auswahl den Gleichgewichtsbedingungen aus der zweiten Auswahl äquivalent, wenn sich beide Bezugspunkte und auf einer Geraden (hierbei die - Achse) befinden, die normal zur Richtung ist, in der Kräftegleichgewicht gebildet wird (hierbei die - Achse).wird (hier die -Richtung).

In Analogie zu den vorigen Auswahlmöglichkeiten der Bedingungen stellen wir folgende Auswahl auf:

Hierbei gilt wiederum für sofern

Außerdem können wir auch drei Momentengleichgewichtsbedingungen mit jeweils einem Bezugspunkt und auswählen:

Damit diese Bedingungen äquivalent sind zur ersten Auswahl an Bedingungen dürfen auch nicht auf einer Geraden liegen.

Wollen wir diese Aussage beweisen, nutzen wir die Gleichung zum Berechnen der Momentensumme bezogen auf den Punkt und bilden die entsprechende Beziehung für einen beliebigen Punkt sodass für die beiden Summen gelten:


Setzen wir die Gleichgewichtsbedingungen der drei Punkte und , also in die Momentensummen ein, folgt daraus:

Nach Eliminierung der Summen bzw. :

In den beiden Beziehung können wir erkennen, dass für und für gelten muss, wenn die Terme in den Klammern in beiden Gleichungen ungleich Null sind. Das ist dann der Fall, wenn gilt. Demnach dürfen sich die beide Punkte und nicht auf derselben Gerade, die durch den Ursprung verläuft, liegen.

Die Auswahl der Gleichgewichtsbedingungen ist zwar beliebig, es kann jedoch die Aufgabe sehr vereinfachen, wenn sie zweckgemäß ist.

Beim Verwenden einer Gleichgewichtsbedingung für ein Moment müssen wir den Bezugspunkt und den Drehsinn festlegen.

Wir können sie symbolisch durch ein ausdrücken. Hier haben also Momente in Pfeilrichtung ein positives Vorzeichen.

Abschließend fassen wir die vier Möglichkeiten zusammen, von denen wir immer eine anwenden können um ebene Kräftegruppen zu reduzieren:

  1. Wirkungslinie der Resultierende durch Bezugspunkt:
  2. Wirkungslinie der Resultierende durch Bezugspunkt
  3. Kräftepaar, das nicht vom Bezugspunkt abhängig ist:
  4. Gleichgewicht:

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