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Der Momentenvektor (allg. Kräftegruppen im Raum)

Für die Behandlung allgemeiner räumlicher Kräftegruppen führen wir den Begriff des Momentenvektors ein. Aus dem ebenen Problem einer in der -Ebene wirkenden Kraft wissen wir bereits, dass um den Bezugspunkt das Moment wobei der senkrechte Abstand zwischen der Wirkungslinie von und dem Bezugspunkt ist. Wir berücksichtigen bei der Berechnung auch den vorab definierten Drehsinn. Das indiziert dabei, dass das Moment um die -Achse wirkt. Mathematisch können wir das Moment in der Ebene durch den Momentenvektor mit dem Betrag und Drehsinn wie folgt angeben:

Momentenvektor in - Richtung

 

Hierbei weist der Vektor in Richtung der -Achse mit Betrag und einem positiven Drehsinn. Dies ist durch die Korkenzieherregel (Rechtschraubenkonvention) wie folgt vorgeben:

Hinweis: Wenn wir in Richtung des Einheitsvektors blicken, dann dreht ein positives Moment rechtsherum (im Uhrzeigersinn)

 

Damit wir in Skizzen Momenten- von Kraftvektoren unterscheiden können, stellen wir ersteren durch einen Doppelpfeil dar (Pfeil etwas zu klein)

Hinweis: In der Ebene hat der Momentenvektor begründet durch eine einzige Drehmöglichkeit (um ) nur die Komponente

Im Raum müssen wir den drei Drehmöglichkeiten entsprechend drei Komponenten und beachten.

 

Für den dreidimensionalen  Momentenvektor gilt also:

Momentenvektor im Raum

 

 

Betrag und Richtungskosinus:

Als Vektorprodukt ausformuliert erhalten wir für den Momentenvektor:

Momentenvektor (Vektorprodukt)

 

Das Moment einer Kraft bezogen auf den Punkt ist durch bestimmt. Hier ist der Ortsvektor, also der vom Bezugspunkt auf den Kraftangriffspunkt (beliebig auf Wirkungslinie positioniert) zeigende Vektor.

 

Momentvektor im Raum (komponentenweise)

 

Aus      

 

erhalten wir mit den folgenden Vektorprodukten

 

für

Geometrisch betrachtet steht als Vektorprodukt senkrecht auf der von und aufgespannten Ebene. Dies sei in folgendem Beispiel dargestellt. Der Betrag ergibt sich aus der von und aufgespannten Parallelogrammfläche:

Beispielskizze [Gross Abb. 3.27]

Merke: Moment ist gleich Kraft mal senkrechtem Abstand (Hebelarm):

 

Die Herangehensweise an das Moment durch ein Kräftepaar im Raum erfolg analog. Dabei gilt also:

Der Vektor zeigt hier von einem beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie von zu einem beliebigen Punkt auf der Wirkungslinie von   steht hier wieder senkrecht auf der von und aufgespannten Ebene. Die Richtung erhalten wir aus der Korkenzieherregel (siehe im Hinweiskästchen oben) und den Betrag aus der aufgespannten Parallelogrammfläche (Kraft mal Hebelarm):

Hinweis: Wir können einen Momentenvektor parallel zu seiner Wirkungslinie oder entlang seiner Wirkungslinie verschieben, so wie wir ein Kräftepaar in der Ebene verschieben können, ohne dass sich seine Wirkung verändert.

 

Bei einem Starrkörper können wir das resultierende Moment aus der Vektorsumme der Einzelmomente bilden:

Resultierendes Moment

 

 

oder komponentenweise:

Hinweis: Der Momentenvektor unterscheidet sich von einem Kraftvektor, dadurch dass er unabhängig ist von seiner Wirkungslinie. Er ist also ein freier Vektor.

 

Wenn das resultierende Moment Null ist, entfällt die Drehwirkung auf den Starrkörper. Diese Bedingung sei in folgender Formel dargestellt.

Momentengleichgewichtsbedingung

 

 

oder komponentenweise: