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Gleichgewichtsbedingungen allgemeiner Kräftegruppen im Raum

In diesem Kapitel widmen wir uns der Reduktion von allgemeinen Kräftesystemen im Raum und stellen die Kraft- und Momentengleichgewichtsbedingungen auf.

Hinweis: Ein allg. räumliches Kräftesystem kann auf eine resultierende Kraft und ein resultierendes Moment bzgl. eines beliebigen Punktes reduziert werden.

 

 

Dazu wählen wir zunächst einen beliebigen Bezugspunkt im Raum und verschieben jede Kraft parallel, bis ihre Wirkungslinien durch verlaufen. Um die Wirkung der Kräfte dabei nicht zu verändern, müssen wir die entsprechende Momente beachten. Das zentrale Kraftsystem und das Momentensystem können wir mit folgenden Gleichungen reduzieren:

Resultierende Kraft und resultierendes Moment

 

Die resultierende Kraft ist hierbei unabhängig vom Bezugspunkt wohingegen das resultierende Moment äbhängig von ihm ist (siehe indiziertes ). Demzufolge haben wir beliebig viele Optionen, ein Kraftsystem und einen Momentenvektor zu reduzieren.

Beispielskizze (schemenhaft Reduktion erläuternd) [Abb. 3.30 Gross]



Hinweis: Eine allgemeine Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, sofern die resultierende Kraft und das resultierende Moment Null sind.

 



Gleichgewichtsbedingungen für eine allg. Kräftegruppe im Raum

 

 

komponentenweise:



Hinweis: Die Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen ist gleich der Anzahl der Freiheitsgrade (Bewegungsmöglichkeiten) eines Starrkörpers. Im Raum entsprechen Freiheitsgrade (eine Translation und eine Rotation je Koordinatenrichtung/-achse) also Bedingungen.

 

Für den Fall, dass alle Kräfte einer Kräftegruppe die selbe Richtung haben, verringert sich unsere Anzahl an Gleichgewichtsbedingungen. Wenn z.B. alle Kräfte in -Richtung wirken, d.h. ist, verschwinden drei der Gleichgewichtsbedingungen und es bleiben folgende Gleichungen übrig:

Sowohl das Kräftegleichgewicht in - und in -Richtung als auch das Momentengleichgewicht um die zur - Achse parallele Achse sind in diesem Fall erfüllt.