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Schwerpunkt einer Gruppe paralleler Kräfte

Wir können eine ebene Kräftegruppe durch eine Resultierende ersetzen, wenn kein Kräftepaar wirkt. Wenn dabei alle Kräfte parallel sind, so entspricht die Richtung der Resultierenden der Richtung aller Kräfte.

Hinweis: Die Lage von ergibt sich aus der Äquivalenz der Momente

 

Wenn wir eine der Resultierende entgegenwirkende Kraft einführen, setzen wir das System ins Gleichgewicht.

Hierzu ein Beispiel [Abb. 4.1a Gross]

Um die Lage des Angriffspunkts der Gegenkraft ( Lage der Resultierenden) zu bestimmen, stellen wir die Kräfte- und Momentengleichgewichtsbedingung auf.

Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt die Lage der Resultierenden (Kräftemittelpunkt oder Schwerpunkt):

Kräftemittelpunkt (Schwerpunkt)

 

Diese Formel erhalten wir auch bei einer Kräftegruppe im Raum, bei der alle Kräfte parallel zur -Achse wirken. Dafür stellen wir die Gleichgewichtsbedingungen auf:

Wenn wir nach und auflösen, erhalten wir die Gleichungen:

Diesen Ansatz machen wir uns auch bei kontinuierlichen Linien- und Flächenlasten zunutze. Dazu betrachten wir eine Linienlast mit der Dimension Kraft/Länge als verteilte infinitesimale Einzelkräfte. An der beliebigen Stelle wirkt dann über die infinitesimale Länge die Einzellast Wir nehmen hierbei an, dass weil () über konstant ist. Damit können wir in obiger Formel für den Kräftemittelpunkt das durch ersetzen. In der Differentialschreibweise erhalten wir, wenn wir das ersetzen und  die Summen als Integrale angeben:

Schwerpunkt einer Linienlast

 

Die Grenzen des Integrals sind dabei festgelegt durch die Länge der Linienlast.

Die Bestimmung der Lage einer Flächenlast (Dimension: Kraft/Fläche) erfolgt analog. Statt des betrachten wir hierbei ein infinitesimales Flächenelement Wir müssen über die gesamte Fläche also über zwei Koordinaten integrieren. In vereinfachter Schreibweise (statt des eigentlichen doppelten Integrals) können wir das wie folgt ausdrücken:

Schwerpunkt einer Flächenlast

 

Die Anwendung dieser Formel sei in folgenden Beispielen verdeutlicht.