Max Academy

Schwerpunkt und Massenmittelpunkt eines Körpers

Die Gleichungen für die Schwerpunkte von Flächenlasten können wir zum Berechnen von Volumenlasten (Körpern) erweitern. Dabei gehen wir davon aus, dass die Richung der Volumenkräfte beliebig ist und gegeben durch den Einheitsvektor Bei Körpern nutzen wir, wie bei einer Flächenlast das infinitesimale Flächenelement das infinitesimale Volumenelement Auf  dessen Lage durch die Koordinaten und (bzw. den Ortsvektor ) beschrieben ist, greift die Einzelkraft an, in der die verteilten in paralleler Richtung wirkenden Volumenkräfte sind.

Wenn alle Kräfte die gleiche Richtung haben, gilt für die Resultierende:

      mit  

Wir integrieren dabei über drei Koordinaten, also über das gesamte Volumen. Die Lage des Kraftangriffspunkts von erhalten wir aus der Momentengleichgewichtsbedingung

Lage des Volumenschwerpunkts im Raum

 

 

oder komponentenweise:

Im Gravitiationsfeld der Erde entspricht wobei die koordinatenabhängige Dichte des Körpers und die konstant angenommene Erdbeschleunigung ist.

Hinweis: Der Schwerpunkt ist der Punkt, in dem wir die über den Gesamtkörper verteilte Gewichtskraft legen können, ohne dass es Einfluss auf die statischen Bedingungen hat.

 

Setzen wir diese Bedingungen in die obigen Gleichungen für die Lage des Volumenschwerpunkts ein, erhalten wir die Lage des Schwerpunkts:

Lage des Massenschwerpunkts

 

 

 

oder ausgedrückt mit Masse eines Volumenelements und Gesamtmasse

 

 

Bei einem homogenen Körper (d.h. Dichte konstant) können wir aus der Gleichung kürzen und erhalten die Volumenmittelpunkte:

Hinweis: Es fallen also bei konstanter Dichte und Erdbeschleunigung Volumenmittelpunkt und der physikalische Schwerpunkt zusammen. Das heißt also, dass der Schwerpunkt dann lediglich abhängig ist von geometriebedingten Größen.

 

Eine vereinfachte Herangehensweise an die Berechnung des Schwerpunkts ist es den Körper in mehrere Teilkörper mit den Volumina den jeweils konstanten Dichten und den bereits bekannten Schwerpunkten aufzuteilen. Für den Nenner gilt der Gleichung aus Lage des Massenschwerpunkts

Wir integrieren dabei jeweils über das Volumen von

Den Zähler drücken wir mit den bekannten Schwerpunktslagen der Teilkörper aus.

Für die Schwerpunktslagen der Teilkörper folgt der Volumenmittelpunkt:

sodass für den Zähler folgendes gilt:

Die - und -Komponente berechnen wir analog, sodass wir die Gleichungen erhalten

Lage des Schwerpunkts (Teilvolumina-Ansatz)

 

 

 

bei gleicher Dichte der Teilvolumina kürzen wir

 

hier ein Beispiel (Teilvolumen-Ansatz)

Hinweis: Der Teilvolumina-Ansatz kann uns auch bei Körpern mit Aussparungen helfen. Wir fassen dann den Körper ohne Aussparungen zusammen und betrachten die Aussparungen als negative Volumina und setzen sie mit negativen Vorzeichen in die Gleichung ein.

 

 

hier ein Beispiel ("negatives" Volumen)